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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 77

Os dois segmentos de haste circular, um de alumínio e outro de cobre, estão presos às paredes rígidas de tal modo que há uma folga de 0,2   mm entre eles quando T 1 = 15   ° C . Qual é a maior temperatura T 2 exigida para apenas fechar a folga? Cada haste tem diâmetro de 30   mm . α a l = 24 10 - 6 / ° C , E a l = 70   GPa , α c o b r e = 17 10 - 6 / ° C , E c o b r e = 126   GPa . Determine a tensão normal média em cada haste se T 2 = 95   ° C

Passo 1

A temperatura de duas hastes aumentou, elas irão sofrer expansão térmica.

Características da haste de cobre:

  • Cobre: E c o b r e = 126   GPa , α c o b r e = 17 10 - 6 / ° C .
    • Comprimento inicial: L c o b r e = 100   mm .

    Características da haste de alumínio:

  • Alumínio: E a l = 70   GPa , α a l = 24 10 - 6 / ° C .
  • Comprimento inicial: L a l = 200   mm .

A temperatura inicial nas duas hastes é T 1 = 10   ° C .

As hastes estão presas em paredes rígidas, e há uma folga de 0,2   mm entre elas.

Quando as hastes esquentarem, elas irão expandir. Queremos saber qual é a temperatura mínima T m i n para que a expansão delas apenas feche a folga.

Depois, assumindo que a temperatura subiu pra T 2 = 95   ° C , queremos saber qual é a tensão em cada haste.

Passo 2

O exercício pede primeiro que vejamos a situação em que as hastes expandem o suficiente para apenas fechar a folga. Isso significa que o aumento do cobre e o aumento do alumínio devem somar exatamente o tamanho da folga.

δ c o b r e + δ a l = 0,2   mm

Vamos usar a relação de expansão térmica entre a temperatura T 1 = 15   ° C e a temperatura mínima T m i n para isso acontecer:

δ = α   Δ T   L → α c o b r e T m i n - T 1 L c o b r e + α a l T m i n - T 1 L a l = 0,2   mm

T m i n = T 1 + 0,2   mm α c o b r e   L c o b r e + α a l   L a l = 15   ° C + 0,2   mm 6500 ⋅ 10 - 6   ° C - 1  mm  

T m i n = 45,77   ° C

Passo 3

Na segunda parte, a gente tem que ver o que acontece quando aumentamos a temperatura para T 2 = 95   ° C .

Cada haste vai sofrer dois efeitos:

  • O aumento de temperatura vai causar uma expansão das hastes ( δ T c o b r e   e   δ T a l )
  • As hastes vão cobrir a folga. Cada haste durante a expansão vai forçar a outra, comprimindo com uma força F . Essa força tende a reduzir as hastes ( δ F c o b r e   e   δ F a l ) .

As paredes são fixas (rígidas), então o resultado aí de toda essa mudança de comprimento (expande e comprime em cada haste) tem que ser o tamanho da folga!

Temos que escrever uma equação com isso tudo. A haste de cobre expande ( + ) δ T c o b r e e reduz ( - ) δ F c o b r e . A haste de alumínio expande ( + ) δ T a l e reduz ( - ) δ F a l . A soma dos totais fecha a folga:

δ T c o b r e - δ F c o b r e + δ T a l - δ F a l = 0,2   mm

Passo 4

Daqui pra frente é só aplicação de fórmula! Expansão térmica δ = α   Δ T   L para Δ T = 80   ° C .

δ T c o b r e = 0,136   mm

δ T a l = 0,384   mm

Passo 5

Agora vamos usar a relação carga-deslocamento. Como só tem uma força na história, vamos agilizar um pouco e usar logo a fórmula da tensão também, porque é isso que estamos procurando:

δ = F   L A   E         e         σ = F A → δ = σ L   E

δ F c o b r e = 0,794 ⋅ 10 - 3   mm 3 /N ⋅ σ

δ F a l = 2,857 ⋅ 10 - 3   mm 3 /N ⋅ σ

Passo 6

Pra fechar, a gente volta na condição de compatibilidade e termina as contas.

δ T c o b r e - δ F c o b r e + δ T a l - δ F a l = 0,2   mm

0,52   mm - 3,651 ⋅ 10 - 3   mm 3 /N   ⋅ σ =   0,2   mm

σ = 87,65   MPa

Resposta

Temperatura para fechar a folga: T m i n = 45,77   ° C .

Tensão nas hastes à 95   ° C : σ = 87,65   MPa .

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