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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 83

O tubo de bronze 86100 tem raio interno de 12,5   mm e espessura de parede de 5   mm . Se o gás que passa por ele mudar a temperatura do tubo uniformemente de T A = 60   ° C em A para T B = 15   ° C em B , determine a força axial que ele exerce sobre as paredes. O tubo foi instalado entre as paredes quando T = 15   ° C .

Passo 1

Um tubo de aço está entre duas paredes e é aquecido.

Características do tubo de bronze 86100 :

  • Bronze 86100 : E = 103   GPa , α = 17 10 - 6   ° C - 1 . (Tabelado)
  • Comprimento inicial: L = 2,4   m .
  • Área transversal: A = π 17,5 2 - 12,5 2 / 4 = 471,2389   mm 2

O tubo havia sido instalado a uma temperatura T i = 15 °   C .

A temperatura T ( x ) do tubo varia linearmente de A até B . Em relação a quando ele foi instalado, o tubo sofreu um aumento de temperatura Δ T ( x ) conforme a posição x :

Δ T ( x ) = T x - T i

Essa diferença de temperatura irá induzir uma expansão térmica. As paredes irão resistir à expansão com uma força F .

Queremos saber o valor dessa força F .

Passo 2

A temperatura do tubo muda linearmente de T A = 60   ° C para T B = 15   ° C . Isso significa que a temperatura está diminuindo da esquerda ( A ) para direita ( B ) , e está diminuindo de forma proporcional à posição x . Podemos escrever então

T x = T A - T A - T B L x

Para x em metros:

T x = 60 - 18,75 x   ° C

A variação de temperatura do tubo em relação a quando foi instalado fica

Δ T x = T x - T i

Δ T x = 45 - 18,75 x   ° C

Mas afinal, o que isso causa no tubo? Duas coisas.

  • O aumento de temperatura vai causar uma expansão do tubo: δ T  
  • A reação das paredes vai comprimir o tubo, reduzindo: δ F .

Como as paredes não podem se mover, o resultado final da expansão e compressão do tubo tem que ser zero!

δ T - δ F = 0

Temos fórmulas pra esses termos!

A expansão térmica aqui ocorre de maneira contínua. Veja que a variação de temperatura Δ T depende de x (posição)! Então é preciso integrar para acharmos a expansão:

δ T = ∫ L α   Δ T ( x )   d x  

Para a compressão, temos a relação carga-deslocamento.

δ F = F   L A   E

Vamos calcular todos os termos para encontrar F depois.

Passo 3

Substitua Δ T x = 45 - 18,75 x   ° C na fórmula para δ T e integra

δ T = ∫ 0 2,4 17 ⋅ 10 - 6   ° C - 1 ⋅ 45 - 18,75 x   ° C     d x

δ T = 17 ⋅ 10 - 6 ⋅ 45   ⋅ 2,4 - 0 + - 18,75 ⋅ 2,4 2 2 + 0 m

δ T = 0,918   mm

Passo 4

Agora vamos usar a relação carga-deslocamento. Lembrando que queremos descobrir F .

δ F = F   L A   E

δ F = 49,446 ⋅ 10 - 6   mm /N ⋅ F

Passo 5

Voltando à condição de compatibilidade, só falta resolver umas continhas pra achar F :

δ T - δ F = 0 → 0,918   mm - 49,446 ⋅ 10 - 6   mm /N ⋅ F = 0

F = 18,566   kN

Resposta

Força axial: F = 18,566   kN .

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