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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 36

Duas barras de latão são unidas firmemente a duas barras de alumínio, formando a seção composta mostrada. Usando os dados abaixo, determinar o maior momento fletor permissível, quando a viga é encurvada em torno de um eixo horizontal.

Passo 1

O problema pede o maior momento fletor permissível, que é dado pela equação:

σ = M ⋅ c I

Ou

M = σ ⋅ I c

Onde:

  • σ é a tensão normal admissível.
  • M é o momento fletor.
  • I o momento de inércia.
  • c a maior distância entre a linha neutra e um ponto da peça.

Porém, além de ter que utilizar essa equação temos uma peça formada por dois materiais diferentes e para isso vamos ter que achar a seção transformada. Posteriormente, vamos poder utilizar a nossa equação do momento fletor tranquilamente.

Então vamos lá!

Passo 2

O cálculo da seção transformada é feito da seguinte maneira, sabendo que a viga é encurvada no eixo horizontal. Originalmente temos:

Observe que a linha central (com traços e pontos) está representando o eixo por onde a a viga é encurvada.

Agora vamos transformar essa peça em uma outra equivalente e toda feita de alumínio. Fazemos isso por meio de uma relação da forma:

n = E l a t ã o E A l u m í n i o

n = 105 70

n = 1,5

Presta atenção agora! Vamos pegar as dimensões da peça de latão que são paralelas ao eixo e multiplicar pelo fator n = 1,5 . Obtendo a seção transformada:

Pronto! Temos a seção transformada (toda em alumínio no caso). Agora vamos calcular o momento de inércia desta seção no passo 3.

Passo 3

O momento de inércia é calculado normalmente, para seções retangulares, da forma:

I = b ⋅ h 3 12

Como as partes 1 e 2 tem o seu centroide alinhado com o eixo horizontal então utilizaremos a equação da forma acima:

I = b ⋅ h 3 12

I 1 = I 2 = ( 15 × 10 - 3 ) ⋅ ( 40 × 10 - 3 ) 3 12

I 1 = I 2 = 8 × 10 - 8 m 4

Já para as partes 3 e 4, que tem seus centroides afastados do eixo horizontal então teremos de utilizar a equação do momento de inércia da seguinte forma:

I = b ⋅ h 3 12 + A ⋅ d ²

Lembrando que o termo A ⋅ d ² é utilizado sempre que o eixo não passa pelo centroide. Sendo assim teremos:

Observe que a distância d é a distância entre o centroide da figura até o eixo:

I 3 = I 4 = 40 × 10 - 3 ⋅ ( 10 × 10 - 3 ) ³ 12 + 40 × 10 - 3 ⋅ 10 × 10 - 3 ⋅ ( 25 × 10 - 3 ) ²

I 3 = I 4 = 2,533 × 10 - 7 m 4

Agora é só somar o momento de inércia das 4 partes:

I = I 1 + I 2 + I 3 + I 4

I = 1,6 × 10 - 7 + 5,066 × 10 - 7

I = 6,66 × 10 - 7 m 4

Passo 4

Agora é só jogar na equação do momento fletor e pronto!

M = σ A l ⋅ I c

Observe que a distância c é a maior distância entre o eixo e a peça!

M = 100 × 10 6 ⋅ 6,66 × 10 - 7 30 × 10 - 3

M = 2,22   k N ⋅ m

Resposta

M = 2,22   k N ⋅ m

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