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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 79

Duas hastes uniformes, cada uma com peso W = 1,2 lb e comprimento l = 8 pol., São soldadas para formar o conjunto mostrado. Sabendo que a constante de cada mola é k = 0,6 lb / in. e essa extremidade A recebe um pequeno deslocamento e é liberada para determinar a frequência do movimento resultante.

Passo 1

Massa e momento de inércia de uma haste

m = W g = 1.2 32.2 = 0.037267 l b ⋅ s 2 / f t

I - = 1 12 m l 2 = 1 12 ( 0.037267 ) 8 12 2 = 1.38026 × 10 - 3 l b ⋅ s 2 ⋅ f t

Aproximação s i n ⁡ θ m ≈ t a n ⁡ θ m ≈ θ m

1 - c o s ⁡ θ m = 2 s i n 2 ⁡ θ m 2 ≈ 1 2 θ m 2

Mola constante k = 0.6 H b / i n = 7.2 l b / f t

Passo 2

Posição 1

T 1 = 2 1 2 I - θ ˙ m 2 + 1 2 m l 2 θ ˙ m 2

= ( 2 ) 1 2 1.38026 × 10 - 3 θ ˙ m 2 + 1 2 ( 0.037267 ) 4 12 θ ˙ m 2 = 3.4506 × 10 - 3 θ ˙ m 2

V 1 = 0

Posição 2

T 2 = 0

V 2 = - W l 2 1 - c o s ⁡ θ m + 2 1 2 k l 2 θ m 2 = ( 1.2 ) ( 0.66667 ) 2 1 2 θ m 2 + ( 2 ) 1 2 ( 7.2 ) 0.66667 2 θ n 2

≈ 0.6 θ m 2

Passo 3

Conservação da energia

T 1 + V 1 = T 2 + V 2

3.4506 × 10 - 3 θ ˙ m 2 + 0 = 0 + 0.6 θ m 2

θ ˙ m = 13.186 θ m

Movimento harmônico simples

θ ˙ m = ω n θ ω

ω n = 13.186 r a d / s

Frequência

f n = ω n 2 π

f n = 2.10 H z

Resposta

f n = 2.10 H z

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