Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 21

Duas partículas A e B partem do repouso na origem e movem-se ao longo de uma linha reta de tal maneira que e , onde t é dado em segundos. Determine a distância entre elas quando e a distância total que cada uma se moveu em .

Passo 1

É importante ter bastante cuidado com esta questão, pois ela envolve uma pegadinha! Determinar a distância entre duas partículas após o tempo de 4 segundos é algo simples. Basta fazer a diferença entre suas posições. Isto é,

Agora, determinar a distância total percorrida não é tão fácil quanto parece. Não podemos pegar apenas as posições finais e subtrair da inicial. É preciso fazer a seguinte análise: A velocidade troca de sinal durante o período analisado? Se ela trocar, significa que o sentido em que se move é modificado. Portanto, a distância total deverá ser dada pela soma dos dois intervalos (movimento em um sentido + movimento no outro sentido).

Passo 2

Começaremos analisando o que ocorre com a velocidade para ambas as partículas, visto que precisaremos das mesmas para obter a função posição. Integrando em relação ao tempo, temos:

Para , temos e . Portanto, no intervalo de 0 a 1 segundo, a velocidade tem sinal negativo (partícula se desloca para a esquerda). Depois de 1 segundo até 4 segundos, a partícula se desloca para a direita e a velocidade é positiva.

Fazendo o mesmo para a partícula B, temos:

Para , temos e . Portanto, no intervalo de 0 a segundos, a velocidade tem sinal negativo (partícula se desloca para a esquerda). Depois de 1 segundo até 4 segundos, a partícula se desloca para a direita e a velocidade é positiva.

Passo 3

Precisamos determinar agora as funções posição de cada uma das partículas e analisar as suas posições nos tempos descobertos no Passo 2. Como elas partem da origem, começando pela partícula A, temos: