Duas partículas A e B partem do repouso na origem s = 0 e movem-se ao longo de uma linha reta de tal maneira que a A = 6 t - 3   m / s 2 e a B = 12 t 2 - 8   m / s 2 , onde t é dado em segundos. Determine a distância entre elas quando t = 4   s e a distância total que cada uma se moveu em t = 4   s .

Passo 1

É importante ter bastante cuidado com esta questão, pois ela envolve uma pegadinha! Determinar a distância entre duas partículas após o tempo de 4 segundos é algo simples. Basta fazer a diferença entre suas posições. Isto é,

Δ s A B = s A - s B

Agora, determinar a distância total percorrida não é tão fácil quanto parece. Não podemos pegar apenas as posições finais e subtrair da inicial. É preciso fazer a seguinte análise: A velocidade troca de sinal durante o período analisado? Se ela trocar, significa que o sentido em que se move é modificado. Portanto, a distância total deverá ser dada pela soma dos dois intervalos (movimento em um sentido + movimento no outro sentido).

Passo 2

Começaremos analisando o que ocorre com a velocidade para ambas as partículas, visto que precisaremos das mesmas para obter a função posição. Integrando em relação ao tempo, temos:

∫ 0 v A d v = ∫ 0 t a A d t

∫ 0 v A d v = ∫ 0 t 6 t - 3 d t

v A = 3 t 2 - 3 t

Para v A = 0 , temos t 1 = 0 e t 2 = 1 . Portanto, no intervalo de 0 a 1 segundo, a velocidade tem sinal negativo (partícula se desloca para a esquerda). Depois de 1 segundo até 4 segundos, a partícula se desloca para a direita e a velocidade é positiva.

Fazendo o mesmo para a partícula B, temos:

∫ 0 v B d v = ∫ 0 t a B d t

∫ 0 v B d v = ∫ 0 t 12 t 2 - 8 d t

v B = 4 t 3 - 8 t

Para v A = 0 , temos t 1 = 0 e t 2 = 2 . Portanto, no intervalo de 0 a 2 segundos, a velocidade tem sinal negativo (partícula se desloca para a esquerda). Depois de 1 segundo até 4 segundos, a partícula se desloca para a direita e a velocidade é positiva.

Passo 3

Precisamos determinar agora as funções posição de cada uma das partículas e analisar as suas posições nos tempos descobertos no Passo 2. Como elas partem da origem, começando pela partícula A, temos:

∫ 0 s A d s = ∫ 0 t v A d t

∫ 0 s A d s = ∫ 0 t 3 t 2 - 3 t d t

s A = t 3 - 3 t 2 2

Para t = 1 temos s A 1 = - 1 / 2   m . Já para t = 4 , temos s A 2 = 40   m . Portanto, a distância total percorrida é;

d A = s A 2 - s A 1 + s A 1 - s 0

d A = 40 - - 0,5 + - 0,5 - 0

d A = 41   m

Repetindo o mesmo procedimento para a partícula B, temos:

∫ 0 s b d s = ∫ 0 t v A d t

∫ 0 s b d s = ∫ 0 t 4 t 3 - 8 t d t

s B = t 4 - 4 t 2

Para t = 2 temos s B 1 = - 4   m . Já para t = 4 , temos s B 2 = 192   m . Portanto, a distância total percorrida é;

d B = s B 2 - s B 1 + s B 1 - s 0

d B = 192 - - 4 + - 4 - 0

d B = 200   m

Por fim, a distância entre as posições da partícula são:

Δ s A B = 200 - 41 = 159   m

Resposta

Distância total percorrida:

d A = 41   m

d B = 200   m

Distância entre as posições:

Δ s A B = 159   m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados