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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 4.5 - Ex. 11

As duas pequenas esferas, cada uma com massa m , estão rigidamente conectadas por uma haste de massa desprezível. O centro C da haste possui uma velocidade v na direção x , e a haste está girando no sentido anti-horário na taxa constante θ ˙ . Para um dado valor de θ , escreva as expressões para

(a) a quantidade de movimento linear de cada esfera e

(b) a quantidade de movimento linear G do sistema de duas esferas.

Passo 1

(a) As duas esferas realizam um movimento circular em torno do centro C da haste, com velocidade perpendicular à haste de módulo r θ ˙ = b θ ˙ . Além disso, ambas têm velocidade v para a direita, acompanhando o movimento da haste.

Os vetores dessas velocidades estão representados na figura a seguir:

Portanto, se decompormos as velocidades (em vermelho) nos eixos x e y , obtemos a quantidade de movimento linear de cada esfera. Para a esfera 1 (mais baixa), temos:

G 1 = m   v   i + b θ ˙   s e n   θ   i - b θ ˙ cos ⁡ θ j

G 1 = m   v + b θ ˙   s e n   θ   i - b θ ˙ cos ⁡ θ j

E para a esfera 2 (mais alta), temos:

G 2 =   m   v   i - b θ ˙   s e n   θ   i + b θ ˙ cos ⁡ θ j

G 2 = m   v - b θ ˙   s e n   θ   i + b θ ˙ cos ⁡ θ j

Passo 2

(b) Para calcular a quantidade de movimento linear do sistema, basta somar as quantidades individuais de cada esfera, já calculadas no item anterior:

G = G 1 + G 2

G = m   v + b θ ˙   s e n   θ   i - b θ ˙ cos ⁡ θ j + m   v - b θ ˙   s e n   θ   i + b θ ˙ cos ⁡ θ j

G = m   v + b θ ˙   s e n   θ + v - b θ ˙   s e n   θ   i + - b θ ˙ cos ⁡ θ + b θ ˙ cos ⁡ θ   j

G = m   2 v   i

G = 2 m v   i

Resposta

(a) G 1 = m   v + b θ ˙   s e n   θ   i - b θ ˙ cos ⁡ θ j

G 2 = m   v - b θ ˙   s e n   θ   i + b θ ˙ cos ⁡ θ j

(b) G = 2 m v   i

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