Enunciado

O eixo de aço A-36 tem diâmetro de 50   m m e está sujeito aos carregamentos distribuídos e concentrados mostrados. Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo e construa um gráfico para o ângulo de torção do eixo em radianos em relação a x .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo joia com vocês?

O problema pede a tensão máxima de cisalhamento no eixo e o gráfico para o ângulo de torção do eixo em radianos em relação a x . A a tensão de cisalhamento é dada por:

τ m á x = T c J

E o ângulo de torção por:

ϕ = ∫ 0 L T x d x J G

Como o eixo não apresenta mudança na sua seção transversal, o raio c e o momento polar de inércia J   serão constantes. Sendo assim, a tensão máxima dependerá somente do torque, logo onde o torque for máximo é onde ocorrerá a máxima tensão de cisalhamento.

O mesmo vale para elaborar o gráfico, visto que esse só dependerá do torque já que as outras são constantes.

Temoss como dados:

T c = 250   N ⋅ m

t x = 200 N ⋅ m / m

L C A = 0,5   m

L C B = 0,5   m

D = 50   m m = 0,050   m

Aço A-36, portanto, G a ç o = 75 ⋅ 10 9   P a

Só com os dados iniciais é possível calcular o momento polar de inércia da seção circular da haste:

J B A = π 2 ⋅ ( c B A 4 )

J B A = π 2 ⋅ 0,050 2   4

J B A = 6,1359 ⋅ 10 - 7 m 4

Passo 2

Visto que a questão gira em torno do torque (trocadilho intencional), temos que determinar logo a função que descreve o torque no eixo. Para isso, vamos dividir o eixo em duas partes C A e C B .

Seção C A : 0 ≤ x ≤ 0,5   m  

Já conhecemos o valor de T C , falta determinar o valor do toque total ocasionado pelo carregamento T C A e o valor do torque de reação no ponto A . O torque total do carregamento é dado pelo carregamento multiplicado pelo comprimento de onde ele está sendo aplicado:

T C A = t x ⋅ x = 200 ⋅ 0,5 = 100   N ⋅ m

Como o sistema está em repouso, logo:

↻ +     ∑ T s e c ç ã o   C A = 0

T C A + T A = T C

100 + T A = 250

T A = 150   N . m

Agora partindo para seção C B :

Seção C B : 0,5 ≤ x ≤ 1   m  

Realizando um somatório de torques, vemos que não existe um torque na secção C B logo;

T C B = 0

Passo 3

Agora vamos determinar o torque que irá produzir o ângulo de torção na seção. Como vimos que não ocorre torque a partir do ponto C   vamos elaborar uma equação que rege o torque na primeira parte do eixo:

Podemos ver que o torque resultante será igual a soma do T A com a parcela gerada pelo carregamento:

T x = T A + t x ⋅ x =   150 +   200 ⋅ x  

T ( x ) =   150 +   200 ⋅ x

O torque máximo ocorrerá quando x for igual à 0,5   m .

T m á x = T 0,5 = 150 + 200 ⋅ 0,5

T m á x =   250   N . m

Passo 4

Tudo determinado. Agora é só partir para o abraço!

τ m á x = T c J

τ m á x = 250 ⋅ 0,025 6,1359 ⋅ 10 - 7  

τ m á x = 10,18   M P a

Função que descreve o ângulo de deformação:

ϕ = ∫ 0 x T x d x J G

ϕ = ∫ 0 x ( 150 +   200 ⋅ x   ) d x J G

ϕ = 1 J G ⋅ 150 x + 200 x 2 2 0 x

ϕ = 1 6,1359 ⋅ 10 - 7 ⋅ ( 75 ⋅ 10 9 ) ⋅ 150 x + 200 x 2 2

ϕ = ( 3,26 x + 2,17 x 2 ) 10 - 3 r a d

E por fim, elaborar o gráfico. Lembrando que a partir do ponto C não tem torque, então o ângulo de torção não varia na seção C B .

Resposta

τ m á x = 10,18   M P a

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