Resolva o Problema 5.68 se o torque distribuído for t = ( k x 2 // 3 ) N . m // m .

Passo 1

Olá, pessoal! Vamos lá analisar esse problema?

O enunciado pede o ângulo de torção na haste e, para isso, teremos de descobrir a constante k para calcular o valor do carregamento de reação.

Vamos então anotar os dados que temos:

T = 50 N * m

t (x) = (k * x^(2 // 3 )) N * m

L = 0,05 m

R_B = 4 m m = 0,004 m

Aço A-36, portanto, G_a ç o = 75 * 10^9 P a

Só com os dados iniciais é possível calcular o momento polar de inércia da seção circular da haste:

J_B A = (pi)/(2) * ( c_(B A)^4 )

J_B A = (pi)/(2) * (0,004^4) = 4,0212 * 10^(- 10) m^4

Passo 2

Primeiro, temos que descobrir a constante k , e para isso vamos usar um trecho muito importante do enunciado: “O parafuso de aço A-36 é apertado dentro de um furo de modo que o torque de reação na haste AB pode ser expresso pela equação t ( x ) = (k * x^2) N * m ”.

Com isso podemos igualar os torques no parafuso: o torque produzido pelo carregamento, T_c , com o torque T aplicado na cabeça do parafuso.

T = T_c

Temos que T_c é o toque total produzido pelo carregamento, o somatório dos torques em cada mínimo comprimento ( d x ), ou seja,

T_c = int_0^(0,05) k * x^(2 // 3) * d x

T_c = k * ((3 x^((5)/(3)))/(5)|_0^(0,05) = k * 4,071 * 10^(- 3) N * m

T_c = k * 4,071 * 10^(- 3) = T

k * 4,071 * 10^(- 3) = 50

k = (50)/(4,071 * 10^(- 3)) = 12,28 * 10^3 N // m^2

Com o valor da constante encontrado, temos que o valor do torque produzido pelo carregamento a um comprimento x é:

T_c = int_0^x k * x^(2 // 3) * d x

T_c = k * ((3 x^((5)/(3)))/(5)|_0^x = k * (3 x^((5)/(3)))/(5) = 12,28 * 10^3 * (3 x^((5)/(3)))/(5)

T_c = 7368 * x^(5 // 3) N * m

O torque que provocara o ângulo de torção é dado pelo torque da cabeça do parafuso menos o torque do carregamento, pois como podemos observar na figura a seguir, eles estão em sentidos opostos.

Com isso temos que:

T (x) = 50 - 7368 * x^(5 // 3)

Passo 3

Agora nos resta calcular a o ângulo de torção varphi :

varphi = int_0^(0,05) (T (x) * d x)/(J * G_a ç o) = (1)/(J * G_a ç o) int_0^(0,05) [50 - 7368 * x^(5 // 3)] * d x

varphi = (1)/(4,0212 * 10^(- 10) * 75 * 10^9) int_0^(0,05) [50 - 7368 * x^(5 // 3)] * d x

varphi = 0,03316 * ([50 x - 7368 * (3 x^(8 // 3))/(8)]|_0^(0,05)

varphi = 0,03316 * [50 * 0,05 - 7368 * (3 * 0,05^(8 // 3))/(8)]

varphi = 0,0518127 r a d

Convertendo para radianos:

0,0518127 r a d * (180)/(pi)

varphi = 2,968 °

Resposta

k = 12,28 * 10^3 N // m^2

varphi = 2,968 °

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