Enunciado

O eixo CA de 2 kg passa por um mancal radial liso em B. Inicialmente, as molas, que estão enroladas livremente em torno do eixo, não estão deformadas quando nenhuma força é aplicada ao eixo. Nesta posição s = s ' = 250   m m e o eixo está em repouso. Se uma força horizontal F = 5   k N é aplicada, determine a velocidade do eixo no instante que s = 50   m m , s ' = 450   m m . As extremidades das molas estão presas ao mancal em B , e as tampas, em C e A.

Passo 1

Temos um problema que envolve molas! Portanto, vamos relembrar antes como calculamos a força de uma mola. Dada uma mola de constante elástica k e deformada por um comprimento x , a sua força é:

F = k x

O problema quer que calculemos a velocidade do eixo após uma deformação de Δ x = 450 - 250 = 250 - 50 = 200   m m . Portanto, o eixo, o qual estará submetido a uma série de forças, será deslocado por 200   m m . Precisamos aliar então as equações da cinética e da cinemática.

Passo 2

Vamos começar fazendo o diagrama de corpo livre do nosso eixo. Ele está sujeito a uma força causada pela mola CB, uma pela mola CB e outra pela própria força de 5   k N . Portanto, temos:

As forças das molas são dadas por:

F C B = k C B x = 3000 x

F A B = k A B x = 2000 x

Fazendo um somatório de forças em todo o eixo ao longo do eixo x , temos:

← ∑ F x = m e i x o a

F - F C B - F A B = 2 a

5000 - 3000 x - 2000 x = 2 a

a = 2500 - 2500 x

Descobrimos agora uma função que relaciona a aceleração do eixo com a sua posição! Precisamos partir para a cinemática agora.

Passo 3

Agora que trabalhamos com a cinética, vamos voltar para a cinemática. Como obtemos a aceleração em função da posição, para descobrirmos a sua velocidade, utilizaremos a seguinte equação.

∫ s 0 s a   d x = ∫ v 0 v v   d v

∫ 0 0,2 2500 - 2500 x   d x = ∫ 0 v v   d v

2500 ⋅ 0,2 - 2500 ⋅ 0,2 2 2 = v 2 2

v = 30   m / s

Resposta

v = 30   m / s

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