Enunciado

O trator é usado para içar a carga B de 150   k g com o sistema de cordas de 24   m de comprimento, lança e polia. Se o trator se move para a direita com aceleração de 3   m / s 2 e tem velocidade de 4   m / s no instante que s A = 5   m , determine a tração na corda neste instante. Quando s A = 0 , s B = 0 .

Passo 1

Temos que ir com muita calma. Este problema é um pouco complicado no início. Mas só um pouco! Precisamos descobrir o valor da aceleração do bloco B para que possamos calcular a tração a que ele está sujeito. Mas para isto, precisamos realizar o seguinte procedimento.

Precisamos escrever uma equação que envolva tudo que envolva o trator ( s A e suas derivadas), e que envolva também o nosso bloco ( s B e suas derivadas). A única forma que temos é ao escrevermos em função da nossa corda, que possui um comprimento finito de 24   m .

Passo 2

Ao carro se deslocar para a direita, conforme podemos ver pela figura da questão, a corda vai formar um triângulo retângulo, como podemos ver abaixo:

Cujo comprimento x da sua hipotenusa é:

x = 12 2 + s A 2

Agora, vamos relacionar este comprimento x com todo a nossa corda. Sendo assim, temos a seguinte equação:

12 - s B + 12 2 + s A 2 = 24

Em que o termo 12 - s B está relacionado a altura vertical da corda acima do bloco B. Como queremos determinar a aceleração do bloco B , basta derivarmos esta função acima duas vezes!! Desta forma, temos:

- v B + 144 + s A 2 - 1 2 ⋅ s A v A = 0

Derivando mais uma vez, temos:

- a B - 144 + s A 2 - 3 2 ⋅ s A v A 2 + 144 + s A 2 - 1 2 ⋅ v A 2 + s A a A = 0

Portanto,

a B = - 144 + s A 2 - 3 2 ⋅ s A v A 2 - 144 + s A 2 - 1 2 ⋅ v A 2 + s A a A

a B = - 144 + 5 2 - 3 2 ⋅ 5 ⋅ 4 2 - 144 + 5 2 - 1 2 ⋅ 4 2 + 5 ⋅ 3

a B = 2,20   m / s 2

Passo 3

Agora que descobrimos o valor da aceleração do bloco B, temos que a tração no cabo é:

↑ ∑ F y = m B ⋅ a B

T - P = m B ⋅ a B

T = m B g + a B

T = 150 ⋅ ( 9,81 + 2,20 )

T = 1,80   k N

Resposta

T = 1,80   k N

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