Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 105
Depois do eixo maciço do Prob. 3.98 ter sido carregado e descarregado, como descrito no problema, um torque , de sentido oposto ao torque original , é aplicado ao eixo. Considerando que o valor de não varia, determinar o ângulo de torção , para que o escoamento se inicie neste segundo carregamento e compará-lo com o ângulo , que representa o início do escoamento do eixo no carregamento original.
Passo 1
No item a) para descobrirmos a tensão máxima que age na nossa estrutura, precisamos antes saber a máxima tensão que a nossa estrutura suporta, e para isso a nossa fórmula é dada por:
Sabemos pelo enunciado que:
Substituindo teremos que:
Como temos o ângulo em que a nossa barra é girada, podemos usar a seguinte equação para nos ajudar:
Como todos esses dados nós já temos, podemos substituir na nossa equação, sendo assim teremos que:
Outra coisa que podemos definir é a máxima deformação elástica que a nossa barra pode ter, e para isso podemos usar a seguinte equação:
E agora podemos fazer a seguinte relação
Como uma das coisas pedidas é a posição que ocorre a máxima tensão residual, podemos substituir o nosso raio e assim teremos que:
Então a posição que a tensão máxima ocorre é no raio elástico dada por
Com esses dados podemos calcular o nosso torque que age na barra, sendo assim teremos que:
Passo 2
Se temos o raio total e o raio elástico, podemos calcular as tensões cisalhantes na superfície e na posição do raio elástico, sendo assim teremos que:
- (A máxima tensão residual de cisalhamento)
- (tensão residual de cisalhamento)
Substituindo nas equações teremos que:
Substituindo nas equações teremos que:
Passo 3
E agora podemos calcular as tensões residuais, da seguinte maneira:
A tensão residual máxima é a maior das duas acima, sendo assim teremos que:
Passo 3
Se aplicarmos uma tensão contrária na estrutura, ela vai bater de frente com a tensão residual, com isso podemos dizer que a tensão contraria necessária deve seguir a seguinte estrutura.
E considerando que vamos usar o limite de escoamento, sabemos que a nossa estrutura se comportará em regime elástico, e se ela se comporta como um regime elástico, podemos usar a seguinte equação.
Agora basta calcularmos o valor do ângulo, sendo assim temos que:
E esse passa a ser o nosso novo ângulo no qual a estrutura irá começar a apresentar tensões residuais. Se compararmos ao caso antigo em que não havia nenhum carregamento, teríamos que:
E assim podemos ver que após o carregamento e a presença de tensões residuais, a estrutura começara a escoar em um ângulo menor dado por: