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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 120

Um eixo maciço tem diâmetro de 40 m m e comprimento de 1 m e é feito de um material elástico-plástico com tensão de escoamento τ e = 100 M P a . Determine o torque elástico máximo T e e o ângulo de torção correspondente. Qual é o ângulo de torção se o torque for aumentado para T = 1,2 T e ? G = 80 G P a .

Passo 1

Dados da questão: d = 40 m m ,   G = 80 G P a ,   L = 1 m ,   τ = 100 M P a

A questão faz várias perguntas.

  • Qual é o torque elástico? Resolveremos com a fórmula da torção
  • Qual é o ângulo de torção elástico? Resolveremos com a Equação 5.15
  • Qual o ângulo de torção se o torque for maior? Nesse momento o comportamento é elástico-plástico, e usaremos a Equação 5.26 para determinar o raio da zona elásticas e depois utilizaremos a Equação 5.25 para determinar o ângulo de torção

Passo 2

Para aplicar a equação da torção, precisamos do momento de inércia:

J = π d 4 32

J = π ⋅ 40 4 32

J = π ⋅ 40 4 32

J = 80000 π   m m 4

e do raio externo:

c = d 2 = 20   m m

Passo 3

Agora podemos aplicar a fórmula da torção para determinar o torque elástico

τ e = T e c J

T e = J ⋅ τ e c

T e = 80000 π ⋅ 100 20 ⋅ m m 4 ⋅ M P a m m

T e = 1,256     k N ⋅ m

Passo 4

ϕ = T L J G

ϕ = 1,256 ⋅ 1 80000 π ⋅ 80 ⋅ k N m ⋅ m m m 4 ⋅ G P a

ϕ = 1,256 ⋅ 1 80000 π ⋅ 80 ⋅ ( 10 3 N m ) ⋅ m ( 10 - 12 m 4 ) ⋅ ( 10 9 P a )

ϕ = 0,0625   r a d

ϕ = 3,58 º

Passo 5

Agora calculamos o novo torque:

T ' = 1,2 ⋅ T e

T ' = 1,5072   k N m

Passo 6

Aplicando o novo torque na Equação 5.26 podemos encontrar o raio da zona elástica

T ' = π τ e 6 ⋅ ( 4 c 3 - ρ e 3 )

ρ e = 4 c 3 - 6 T ' π τ e 3

ρ e = 4 ( 0,020 ) 3 - 6 ⋅ 1507,2 π ⋅ 100 ⋅ 10 6 3

ρ e = 0,0147 6   m

ρ = 14,76   m m

Passo 7

Aplicamos a lei de Hook para determinar a deformação da zona elástica:

γ e = τ e G

γ e = 100 80 ⋅ M P a G P a

γ e = 0,00125

E finalizamos a questão aplicando a Equação 5.25 para determinar o ângulo de torção:

ϕ ' = γ e L ρ e

ϕ ' = 0,00125 ⋅ 1 0,01476

ϕ ' = 0,0847   r a d

ϕ ' = 4,852 º

Resposta

T e = 1,256     k N ⋅ m

ϕ = 3,58 º

ϕ ' = 4,852 º

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Sabendo-se que ( G = 77G P a ) e τ a d m = 40M P a para o aço a ser usado, determinar: (a) o menor diâmetro permissível de um eixo maciço, que deve transmitir 18h p , a uma rotação de 2400r p m ; (b)
Determinar a máxima tensão de cisalhamento em um eixo maciço de 12m m de diâmetro, que transmite 2,5k W a uma frequência de: a) 25H z
Determinar a máxima tensão de cisalhamento em um eixo maciço de 12m m de diâmetro, que transmite 2,5k W a uma frequência de: b) 50H z
Usando uma tensão de cisalhamento admissível de 50M P a , projetar um eixo maciço de aço para transmitir 15 k W , a uma frequência de:a) 30H z
Usando uma tensão de cisalhamento admissível de 30M P a , projetar um eixo maciço de aço que transmita 1 2 h p , a uma velocidade de:a) 24 00r p m