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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 2

Um eixo maciço de raio r está sujeito a um torque T . Determine o raio r ' do núcleo interno do eixo que resista à metade do torque aplicado ( T / 2 ). Resolva o problema de duas maneiras: a usando a fórmula da torção e b determinando a resultante da distribuição da tensão de cisalhamento.

Passo 1

Fala, querido!

Um torque T está forçando um eixo maciço. Essa questão não tem valores. Vamos anotar tudo que sabemos.

Características do eixo:

  • Raio do eixo: r .
  • Momento polar de inércia: J = π r 4 / 2 . (Eixo maciço)

Até aqui todas essas letras são conhecidas!

Queremos descobrir o raio r ' que define a parte interna do eixo capaz de resistir T / 2 .

A questão pede que façamos as contas de duas formas:

  • Caso A: usando a fórmula da torção.
  • Caso B: usando a resultante da distribuição de tensão de cisalhamento.

Vamos pro Caso A primeiro!

Passo 2

O torque T gera uma distribuição de tensão de cisalhamento nas seções do eixo. Começamos com a fórmula da torção:

τ ' = T '   r ' J '

Imaginando uma seção transversal que vai apenas até r ' , queremos que T ' = T / 2 . Nessa seção imaginária, teríamos J ' = π r ' 4 / 2 . A tensão cisalhante em r ' seria

τ ' = T / 2     r ' π r ' 4 / 2 = T π r ' 3

Beleza! Só não conhecemos o valor de τ ' ! Vamos resolver isso.

Passo 3

Sabemos que a tensão de cisalhamento τ será máxima quando usarmos o raio inteiro do eixo ( r ) :

τ m a x = T   r J = T   r π r 4 / 2 = 2 T π r 3

E também sabemos que a tensão τ ' varia linearmente até τ m a x de acordo com o raio. Podemos usar algo com o uma semelhança de triângulos. Olha um esboço da distribuição de tensão na seção:

τ m á x τ ' = r r ' → τ ' = r ' r τ m a x

Agora vamos substituir tudo!

τ ' = T π r ' 3         →         T π r ' 3 = r ' r 2 T π r 3

r ' 4 = 1 2 r 4

r ' = 0,841 r

Achamos o valor de r ' pelo Caso A . Vamos ver agora pelo caso B .

Passo 4

Vamos para o caso B.

Temos uma definição que diz que o torque T ' que atua em uma seção de raio r ' é equivalente ao torque resultante da distribuição de cisalhamento até esse raio.

Se pensar bem, isso faz sentido. Num ponto r ' temos um valor de τ ’. Todo cisalhamento até aquele ponto deve produzir esse valor de torque. Para ficar tudo equilibrado.

Vamos com calma, para o Caso B precisamos somar os efeitos de cisalhamento na seção inteira (integral!).

Bem, podemos começar escrevendo

T ' = ∫ d T

Isso significa que estamos somando as contribuições de torque! Vamos ver como. Esse pequeno torque d T pode ser causado por uma pequena força atuando a uma distância ρ de um centro de rotação (centro do eixo):

d T = ρ   d F

E agora pense o seguinte. Imagine uma área circular bem pequena d A que está distante ρ do centro e tem espessura d p (um anel).

Se a tensão de cisalhamento nessa área for chamada de τ , temos que a força gerada por essa tensão é

d F = τ   d A

De volta à integral:

T ' = ∫ d T         →       T ' = ∫ A r ' ρ   τ   d A

Está melhorando! O que essa integral significa é que estamos somando as contribuições de torque em toda a área A ( r ' ) (a área do eixo até um raio r ' ).

Aquele τ ali a gente já sabe que está relacionado a τ m a x ! Vamos continuar

τ = ρ r τ m a x         →         T ' = ∫ A r ' ρ   ρ r τ m a x   d A

τ m a x = 2 T π r 3         →         T ' = ∫ A r ' ρ   ρ r 2 T π r 3   d A

T ' = 2 T π r 4   ∫ A r ' ρ 2   d A

Pra essa integral ficar fácil, a gente quer que ela fique definida segundo comprimentos! Vamos achar a área d A , achando o comprimento do anel e multiplicando pela espessura que ele tem d ρ .

d A = 2 π ρ   d p

Chegamos finalmente em

d A = 2 π ρ   d p         →         T ' = 4 T r 4   ∫ 0 r ' ρ 3   d p

A gente coloca de 0 até r ' , porque queremos o torque produzido em r ' .

Passo 5

O que o Caso B nos pede é que o torque resultante dessa integral seja T ' = T / 2 .

T 2 = 4 T r 4   ∫ 0 r ' ρ 3   d p

r ' 4 4 - 0 4 4 = 1 8 r 4

r ' = 0,841 r

Fechou! Mesma resposta!

Resposta

Raio: r ' = 0,841 r .

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