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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 13

Dois eixos de aço são acoplados pelas engrenagens mostradas. Determinar a máxima tensão de cisalhamento em cada eixo, quando um torque T de 4   k N ⋅ m é aplicado em D .

Passo 1

Este exercício é muito comum com problemas de torção e nos pede a tensão de cisalhamento máxima de cada eixo, que é obtida através da fórmula:

τ = T ⋅ c J

Onde:

  • τ Representa a tensão de cisalhamento.
  • T A torção a qual a barra está submetida.
  • c A distância do centro ao ponto de aplicação.
  • J O momento de inércia polar.

Lembrando que o momento de inércia polar é calculado como:

J = π ⋅ c 4 2

Além disso é importante lembrar que nas engrenagens a força entre elas é a mesma, logo o torque será diferente, lembrando que:

T = F ⋅ d

No caso das engrenages a distância d será equivalente ao raio. Como temos que as forças será iguais, podemos mudar essa equação para se tornar um pouco mais prática:

F = T d

Ou

F = T R

Como as forças são iguais, vamos ter que

F 1 = F 2

T 1 R ! = T 2 R 2

Passo 2

Vamos começar calculando os momentos de inércia polar para as barras A B e C D , para depois calcularmos o torque:

J = π ⋅ c 4 2

Para a barra C D , que tem diâmetro de 50   m m e raio de 25 m m

J = π ⋅ ( 25 × 10 - 3 ) 4 2

J = π ⋅ 390625 × 10 - 12 2

J = 613592 × 10 - 12   m 4

Para a barra A B , que tem diâmetro de 6 0   m m e raio de 30 m m

J = π ⋅ ( 30 × 10 - 3 ) 4 2

J = π ⋅ 810000 × 10 - 12 2

J = 1272345 × 10 - 12   m 4

Passo 3

Agora para calcular a tensão máxima nós precisamos do torque. Nós já possuímos o torque aplicado no eixo C D que é de 4   k N ⋅ m mas precisamos saber qual será o torque desenvolvido no eixo A B , para isso vamos utilizar a seguinte equação demonstrada no passo 1:

T 1 R ! = T 2 R 2

Logo vamos ter

T C D 60 = T A B 100

4 60 = T A B 100

T A B = 100 ⋅ 4 60

T A B = 6,67   k N ⋅ m

Passo 4

Agora podemos calcular a tensão de cisalhamento para ambas as barras:

τ = T ⋅ c J

Primeiro para a barra C D , lembrando que ela tem raio igual a 25   m m

τ = 4 × 10 3 ⋅ 25 × 10 - 3 613592 × 10 - 12

τ = 4 ⋅ 25 613592 ⋅ ( 10 3 ) ⋅ ( 10 - 3 ) 10 - 12

τ = 0,000163 × 10 12   P a

τ = 163 × 10 6   P a

τ = 163   M P a

Agora para a barra A B , lembrando que ela tem raio igual a 30   m m

τ = 6,67   × 10 3 ⋅ 30 × 10 - 3 1272345 × 10 - 12

τ = 6,67 ⋅ 30 1272345 ⋅ ( 10 3 ) ⋅ ( 10 - 3 ) 10 - 12

τ = 0,000157 × 10 12   P a

τ = 157 × 10 6   P a

τ = 1 57   M P a

logo a máxima tensão de cisalhamento em cada eixo será de

τ C D = 163   M P a

τ A B = 157   M P a

Resposta

τ C D = 163   M P a

τ A B = 157   M P a

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