Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 35
O motor de engrenagens pode desenvolver quando gira a . Se a tensão de cisalhamento admissível para o eixo for , determine, com aproximação de múltiplos de , o menor diâmetro que pode ser usado.
Passo 1
Olá, tá bem?
Então, vamos entender toda essa situação. Não se assusta com essa história do motor. Basicamente temos um eixo, que transmite potência sob frequência .
Por transmitir essa potência, o eixo sofre torção, que vai produzir uma tensão de cisalhamento nele. A tensão no eixo não pode ultrapassar , ou seja, esse é o nosso valor máximo para a tensão
E ele quer saber o diâmetro desse eixo. A fórmula da tensão de cisalhamento quando a gente tem torção é:
Esse é é a distância entre o centro da seção e o ponto onde queremos a tensão,
Percebe que quanto maior maior , então a tensão máxima acontece no ponto da seção mais longe do centro, ou seja, na borda do eixo! Essa tensão que deve ser igual a nossa tensão admissível para que o eixo resista ao torque. Logo, vai ser o raio do nosso eixo:
A ideia é a gente usar essa fórmulinha e achar o diâmetro que esse eixo tem que ter. Bora lá!
Passo 2
Vamos começar calculando , que é o momento polar de inércia do eixo. Como esse eixo é um cilindro maciço (não é um tubo com raio interno e externo), o momento polar é dado por
Mas esse é que é o raio da seção pode ser escrito como a metade do diâmetro do eixo:
Substituindo isso, vamos achar
Passo 3
Vamos achar mais uma peça da fórmula da tensão, o torque no eixo!
Quando há transmissão de potência, o torque está relacionado a essa potência pela fórmulinha:
Temos
Repara que a gente dividiu nossa frequência por para sairmos de e irmos para , unidade que pode ser usada na nossa fórmulinha.
Substituindo nossos dados na fórmulinha e isolando :
Passo 4
Agora vamos ver que diâmetro pode aguentar a tensão admissível segundo esse torque:
Substituindo nossos valores e sabendo :
Isolando :
Aproximando com múltiplos de , porque ele pede:
Repara que a gente arredondou o resultado para cima. A gente sempre faz isso quando dimensiona o diâmetro do eixo maciço, tá?
Resposta
Diâmetro: .