O elemento de volume do cone circular de altura e base de raio é formado cortando-se um elemento fino do cone a uma distância do vértice. Se o elemento cortado tiver uma espessura finita , mostre que seu volume vale . (Lembre-se da equação do volume de um cone.) Explique o que acontece ao segundo e terceiro termos quando se torna o infinitesimal .
Passo 1
Por razão de semelhança nos dois cones da figura, temos:
Lembre-se de que o volume de um cone é dado por:
Então, conforme o desenho, o volume de um cone de altura e raio da base é calculado assim:
Passo 2
Para calcular , devemos subtrair os volumes dos cones de altura e :
Passo 3
Quando tomamos o limite , os termos de ordem mais alta se anulam, de modo que:
Resposta
O segundo e terceiro termos se anulam: