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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 1

Encontre a matriz de transformação que gira o eixo de um sistema de coordenadas retangulares 45 ° na direção de x 1 em torno de x 2 .

Passo 1

E aí, pessooaaaall, tudo tranquilidade com vocês!? vamos começar a resolver esse livro TOP demais. Bora simbora começar. Essa primeira questão, envolve a parte de transformações de coordenadas e matriz de rotação.

Pessoal, lá da teoria do livro, nós podemos observar a equação 1.9 que indica uma forma de representar a matriz de rotação de um sistema λ em função dos seus cossenos diretos λ i j . Dessa forma:

λ = λ 1 1 λ 12 λ 1 3 λ 21 λ 22 λ 23 λ 31 λ 32 λ 33

Onde λ i j ≡ c o s ⁡ ( x i ' x j )

Onde os x i ' representam os eixos rotacionados e os x j representam os eixos originais e c o s ⁡ ( x i ' x j ) o cosseno do ângulo formado entre x i ' x j .

Dessa forma, vamos fazer o que a questão pede. Sabendo que x 3 gira 45° na direção de x 1 e x 2 = x 2 ' já que a rotação se dá no plano que contém x 1   e   x 3 e é perpendicular a x 2 .

Passo 2

Vamos achar os cossenos diretores então:

λ 11 = cos ⁡ x 1 ' x 1 = cos ⁡ 45 ° = 2 2

λ 1 2 = cos ⁡ x 1 ' x 2 = cos ⁡ 90 ° = 0

λ 1 3 = cos ⁡ x 1 ' x 3 = cos ⁡ 45 ° + 90 ° = - sin ⁡ 45 ° = - 2 2

λ 2 1 = cos ⁡ x 2 ' x 1 = cos ⁡ 90 ° = 0

λ 22 = cos ⁡ x 2 ' x 2 = cos ⁡ 0 ° = 1

λ 23 = cos ⁡ x 2 ' x 3 = cos ⁡ 90 ° = 0

λ 3 1 = cos ⁡ x 3 ' x 1 = cos ⁡ 90 ° - 45 ° = sin ⁡ 45 ° = 2 2

λ 32 = cos ⁡ x 3 ' x 2 = cos ⁡ 90 ° = 0

λ 33 = cos ⁡ x 3 ' x 3 = cos ⁡ 45 ° = 2 2

Passo 3

Agora podemos finalmente montar nossa matriz de rotação.

λ = 2 2 0 - 2 2 0 1 0 2 2 0 2 2

Massa, né. 😊

Resposta

λ = 2 2 0 - 2 2 0 1 0 2 2 0 2 2