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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 90

A engrenagem A de 950 g é restrita a rolar na engrenagem fixa B, mas é livre para girar em torno do eixo AD. O eixo AD, de comprimento 400 mm e massa desprezível, é conectado por uma manilha ao eixo vertical DE, que gira conforme mostrado com uma velocidade angular constante ω1. Supondo que a engrenagem A pode ser aproximada por um disco fino de raio de 80 mm, determine o maior valor permitido de ω1 se a engrenagem A não perder contato com a engrenagem B.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o maior valor permitido de ω1 se a engrenagem A não perder contato com a engrenagem B. Então trazemos os dados :D

β = 30 ∘ L = 400 m m = 0.4 m r = 80 m m = 0.08 m

Escola os eixos principais x,y,z como mostrado

Cinemática

ω 1 = a 1 s i n ⁡ β i + ω 1 c o s ⁡ β j ω 2 = ω 2 j

ω = ω 1 + ω 2 = ω 1 s i n ⁡ β i + ω 1 c o s ⁡ β + ω 2 j

ω x = ω 1 s i n ⁡ β ω y = ω 1 c o s ⁡ β + ω 2 v G = ω 1 × r G / D = ω 1 j × r G / D = - ω 1 L s i n ⁡ β k

a G = ω 1 × v G = ω 1 2 L s i n ⁡ β ←

v C = v G + ω × r C / G

0 = - ω 1 L s i n ⁡ β k + ω 2 i + ω y j × ( - r i ) = - ω 1 L s i n ⁡ β k + ω y r k

ω y = ω 1 L r s i n ⁡ β

Passo 2

Momento angular

H G = I - x ω x i + I → y ω y j

Deixe o quadro de referência Dxyz rodar com velocidade angular Ω = ω 1

H ˙ G = H ˙ G G x y z + Ω × H G

= 0 + ω 1 s i n ⁡ β i + ω 1 c o s ⁡ β j × I - x ω x i + I - y ω y j = I - y ω y ω 1 s i n ⁡ β - I → x ω x ω 1 c o s ⁡ β k = 1 2 m r 2 ω y s i n ⁡ β - 1 4 m r 2 ω x c o s ⁡ β ω 1 k

Passo 3

Momentos sobre D

M D = F d k - m g L s i n ⁡ β k

Em que d = L 2 + r 2

M D e f f = H ˙ G + r G / D × m a G = H ˙ G + m ω 1 2 L 2 s i n ⁡ β c o s ⁡ β k

Equacionando M D = M D e f f e colocando componente z

F C d - m g L s i n ⁡ β = 1 2 m r 2 L r s i n 2 ⁡ β - 1 4 m r 2 s i n ⁡ β c o s ⁡ β α 2 + m ω 1 2 L 2 s i n ⁡ β c o s ⁡ β = m ω 1 2 s i n ⁡ β 1 2 r L s i n ⁡ β - 1 4 r 2 c o s ⁡ β - L 2 c o s ⁡ β

Resolvendo para Fc

F C = m s i n ⁡ β d g L - ω 1 2 L 2 c o s ⁡ β + 1 4 r 2 c o s ⁡ β ∼ 1 2 μ s i n ⁡ β

Dado adicional

m = 950 g = 0.95 k g , ω 1 = 4 r a d / s d = ( 0.4 ) 2 + ( 0.08 ) 2 = 0.40792 m

F C = ( 0.95 ) s i n ⁡ 30 ∘ 0.40792 ( 9.81 ) ( 0.4 ) - ( 4 ) 2 ( 0.4 ) 2 c o s ⁡ 30 ∘ + 1 4 ( 0.08 ) 2 c o s ⁡ 30 ∘ - 1 2 ( 0.4 ) ( 0.08 ) s i n ⁡ 30 ∘ = 2.11 N

α = β - t a n - 1 ⁡ r L = 30 ∘ - t a n - 1 ⁡ 4 20 α = 18.7 ∘

2.11 N           18.7 ∘

Resposta

2.11 N         18.7 ∘

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