Enunciado

A esfera de aço com 10   k g está suspensa em uma estrutura de 15   k g que desliza para baixo no plano inclinado a 20 ° . Se o coeficiente de atrito dinâmico entre a estrutura e o plano inclinado é 0,15 , calcule a tração em cada um dos fios de suporte A e B .

Passo 1

Pessoal, o problema fica menos complicado se a gente considerar o eixo x na direção de descida, e o eixo y perpendicular a ele. Primeiro, vamos analisar as forças da estrutura que desliza no plano inclinado.

Como a estrutura não voa nem afunda no plano inclinado, as forças no eixo y se anulam. Essas forças são a normal N e a componente W y do peso, e portanto,

N - W y = 0

N - M g cos ⁡ 20 ° = 0

N = M g cos ⁡ 20 °

Agora na direção x , vamos aplicar a Segunda Lei de Newton:

W x - F a t = M a

onde W x = M g   s e n   20 ° é a componente do peso que favorece a descida e F a t = μ k N é a força de atrito dinâmico, oposta à descida:

M g   s e n   20 ° - μ k N = M a

Substituímos a expressão que encontramos para a normal N :

M g   s e n   20 ° - μ k M g cos ⁡ 20 ° = M a

a = g s e n   20 ° - μ k cos ⁡ 20 °

Substituindo g = 9,8   m / s 2 e μ k = 0,15 , obtemos a aceleração da estrutura:

a = 1,97   m / s 2

Passo 2

Como a esfera de aço está ligada à estrutura, ela também vai adquirir essa mesma aceleração na direção x considerada, e permanecerá em equilíbrio na direção y :

T A y + T B y - W y = 0

onde W y = m g cos ⁡ 20 ° como explicado anteriormente, T A y = T A   s e n   45 ° é a componente da tração T A na direção y e T B y = T B   s e n   45 ° é a componente da tração T B na direção y :

T A   s e n   45 ° + T B   s e n   45 ° - m g cos ⁡ 20 ° = 0

Substituindo as constantes m = 10   k g e g = 9,8   m / s 2 , obtemos a seguinte equação:

0,707   T A + 0,707   T B - 92,1 = 0

T A + T B = 130,3

Passo 3

Se também aplicarmos a Segunda Lei de Newton na direção x para a esfera, obteremos mais uma equação:

W x + T B x - T A x = m a

m g   s e n   20 ° + T B cos ⁡ 45 ° - T A cos ⁡ 45 ° = m a

Substituímos de novo as constantes, e também a = 1,97   m / s 2 , conforme já calculado:

33,5 + 0,707   T B - 0,707   T A = 19,7

T A - T B = 19,5

Então, a gente obteve um sistema de duas equações e duas incógnitas:

T A + T B = 130,3 T A - T B = 19,5

cuja solução é:

T A = 74,9   N

T B = 55,4   N

Resposta

T A = 74,9   N

T B = 55,4   N

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