A esfera homogênea do Prob. 6/196 é colocada sobre a inclinação com uma velocidade angular no sentido horário   ω o , mas sem velocidade linear em seu centro ( v o = 0 ) . Determine o tempo de duração t do período de deslizamento. Além disso, determine a velocidade v e a velocidade angular ω no final do período de deslizamento.

Passo 1

Este problema é semelhante ao anterior com a diferença de que o centro não possui mais velocidade linear inicial e apresenta uma velocidade angular incial ω o . A figura abaixo representa o novo problema.

A resolução é parecida. Note que, por geometria, é possível concluir que

N = m g c o s θ

Sabemos que

∫ 0 t ∑ F e x t x d t = m ( v x - v x o )

Assim, temos

μ k m g c o s θ + m g s e n θ t = m ( v - 0 )

Mas sabemos também que

∫ 0 t ∑ M g d t = I - ω - ω o

De onde tiramos que

- μ k m g c o s θ × r t = 2 5 m r ² ( ω - ω o )

Sabemos também que v = ω r .

Passo 2

Simplificando, as equações obtidas são

μ k g c o s θ + g s e n θ t = v       ( I ) - μ k g c o s θ   t = 2 5 r ω - ω o     ( I I )   v = ω r         ( I I I )

A partir dessas equações conseguimos achar as variáveis t , v e ω em função dos parâmetros dados pelo problema. Fazendo as substituições, obtemos

t = 2 r ω o g ( 7 μ k c o s θ + 2 s e n θ )

v = 2 r ω o ( s e n θ + μ k c o s θ ) 7 μ k c o s θ + 2 s e n θ

ω = 2 ω o ( s e n θ + μ k c o s θ ) 7 μ k c o s θ + 2 s e n θ

Resposta

t = 2 r ω o g ( 7 μ k c o s θ + 2 s e n θ )

v = 2 r ω o ( s e n θ + μ k c o s θ ) 7 μ k c o s θ + 2 s e n θ

ω = 2 ω o ( s e n θ + μ k c o s θ ) 7 μ k c o s θ + 2 s e n θ

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