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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 136

Um bloco de 12,74 kg em repouso é acionado por uma força P que varia como mostrado na figura. Sabendo que os coeficientes de atrito entre o bloco e a superfície são μ s = 0,50, μ k = 0,40 determine (a) o tempo no qual o bloco começará a se mover, (b) a velocidade máxima alcançada do bloco, (c) o tempo no qual o bloco vai parar de se mover.

Passo 1

Vamos lá resolver mais essa. Para determinar o tempo que o bloco começará a se mover, vamos utilizar o princípio de impulso e quantidade de movimento. Observando a figura abaixo:

Temos que:

m v 1 + ∫ P d t - ∫ F d t = m v 2

v = 1 m ∫ P d t - ∫ F d t

Essa é a velocidade do bloco para qualquer instante de tempo. O bloco irá se mover quando P = F = F a t . Observando o gráfico

Podemos, por semelhança de triângulos, determinar o instante que o bloco começará seu mevimento:

t 1 8 = F a t 100 → F a t = μ s N =   μ s m g = 0,50 ⋅ 12,74 ⋅ 9,81 = 62 , 5   N

t 1 = 8 62 , 5 100 = 5 , 0   s

Passo 2

Após o bloco iniciar seu movimento, ele atingirá a velocidade máxima quando sua aceleração for igual a zero, ou seja, quando P = F a t , sendo essa a força de atrito cinético. Definindo este instante com t m , temos que:

P = F a t = μ k m g = 0,40 ⋅ 12,74 ⋅ 9,81 = 5 0,0   N

Assim, colocando as informações do passo anterior e deste passo no gráfico, conforme a figura abaixo:

Temos que o impulso máximo, que irá fornecer a velocidade máxima ao bloco, é igual a área da parte hachurada. Para descobrirmos t m , vamos fazer da mesma forma para t 1 :

16 - t m 8 = F a t 2 100 → t m = 16 - 8 5 0 100 = 12   s

Assim:

v m = 1 m 1 2 12,5 + 5 0 3 + 1 2 5 0 12 - 8

v m = 1 12,7 4 ( 193,75 )

v m = 15,2   m / s

Passo 3

O bloco para de se mover quando o impulso líquido é igual a zero, ou seja:

∫ ( P - F ) d t = 0

Para isso, vamos assumir um tempo t f < 16   s , em que t f é o instante que o bloco para de se mover. Observando o gráfico de impulso (P –F) x t:

É uma subtração das áreas dos gráficos P x t e F x t:

Assim, para calcular t f , vamos fazer a subtração da área hachurada do gráfico da esquerda pela a área hachurada do gráfico da direita. O valor de P quando t = t f pode ser obtido por meio da semelhança de triângulos:

16 - t f 8 = P f 100 → P f = 100 16 - t f 8

Calculando a área de cada gráfico:

∫ 0 t s P d t = 1 2 100 8 + 1 2 100 + 100 16 - t f 8 t f - 8 = 800 - 6,25 16 - t f 2

∫ 0 t f F d t = 1 2 62 , 5 5 + 50 t f - 5 = 156,25 - 5 0 ( t f - 5 )

∫ P d t - ∫ F d t = 800 - 6,25 16 - t f 2 - 156,25 - 50 t f - 5 = 0

t f = 17,6   s

Resposta

  1. 5,0 s
  2. 15,2 m/s
  3. 17,6 s
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