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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 116

Uma esfera sólida de raio c = 3 pol. é presa como mostrado a um cabo AB de comprimento de 15 pol. A esfera gira em torno de seu diâmetro BC e precessa em torno do eixo vertical AD. Sabendo que θ = 20 ∘  e  β = 35 ∘ , determine (a) a taxa de rotação da esfera e (b) sua taxa de precessão.

Passo 1

E aí pessoal, partiu mais uma questão de resmat? O exercício pede que a gente determine (a) a taxa de rotação da esfera e (b) sua taxa de precessão.

Usaremos então o eixo centroidal principal x, y, z começamos determinar a velocidade angular

ω = - φ ˙ s i n ⁡ θ i + ( ψ ˙ + φ ˙ c o s ⁡ θ ) k

Momento angular sobre centro de massa G

H G = I x ω x i + I y ω y j + I z ω z k = - I ' φ ˙ s i n ⁡ θ i + I ( ψ ˙ + φ ˙ c o s ⁡ θ ) k

Passo 2

Deixe o quadro de referência Gxyz, rolar com velocidade angular

Ω = - φ ˙ s i n ⁡ θ i + φ ˙ c o s ⁡ θ k

H ˙ G = Ω × H G = I φ ˙ ψ ˙ s i n ⁡ θ - I ' - I φ ˙ 2 s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ j

Passo 3

Aceleração do centro de massa pode ser obtido da seguinte maneira

a ¯ = ( l s i n ⁡ β + c s i n ⁡ θ ) φ ˙ 2 ←

Σ F = Σ F eff  :

+ ↑ : T cos ⁡ β - m g = 0 ,       T = m g cos ⁡ β (1)

+ ← T s i n ⁡ β = m a -

g t a n ⁡ β = ( l s i n ⁡ β + c s i n ⁡ θ ) φ ˙ 2 (2)

Calculando o somatório temos…

+ ) Σ M G = T c s i n ⁡ ( β - θ ) = H ˙ G

m g c s i n ⁡ ( β - θ ) cos ⁡ β = 1 ψ φ ˙ s i n ⁡ θ - I ' - 1 φ ˙ 2 s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ (3)

Passo 4

Agora basta substituirmos os valores para determinar a inércia

I m = I ' m = 2 5 c 2 = 0.025 f t 2                 I ' - I = 0 β = 35 ∘ , θ = 20 ∘

Da eq(2)

(32.2)  t a n ⁡ 35 ∘ = 1.25 s i n ⁡ 35 ∘ + 0.25 s i n ⁡ 20 ∘ φ ˙ 2

φ ˙ 2 = 28.09 6

φ ˙ = 5.3006 r a d / s

Da eq(3)

( 32.2 ) ( 0.25 ) s i n ⁡ 15 ∘ cos ⁡ 35 ∘ = ( 0.025 ) ψ ˙ ( 5.3006 ) s i n ⁡ 20 ∘

  ψ ˙ = 56.1 r a d / s

Resposta

(a) ψ ˙ = 56.1 r a d / s

(b) φ ˙ = 5.30 r a d / s

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