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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 7

Um paralelepípedo retangular sólido de massa m tem uma base quadrada de lado a e comprimento 2 a . Sabendo que ele gira a uma taxa constante em torno de sua diagonal AC 'e que sua rotação é observada a partir de A no sentido anti-horário, determine (a) a magnitude do momento angular H G do paralelepípedo em torno de seu centro de massa G, (b) o ângulo que H G se forma com a diagonal AC '.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine (a) a magnitude do momento angular H G do paralelepípedo em torno de seu centro de massa G, (b) o ângulo que H G se forma com a diagonal AC '.

Corpo diagonal

d = a 2 + ( 2 a ) 2 + a 2 = 6 a ω = ω d ( - a i + 2 a j - a k ) = - ω 6 i + 2 ω 6 j - ω 6 k

Passo 2

Calculando as inércias temos:

  1. I x = 1 12 m ( 2 a ) 2 + a 2 = 5 12 m a 2 I y = 1 12 m a 2 + a 2 = 1 6 m a 2 I z = 1 12 m a 2 + ( 2 a ) 2 = 5 12 m a 2

Passo 3

(a) H G = I x ω x i + I y ω y j + J z ω z k

= 5 12 m a 2 - ω 6 i + 1 6 m a 2 2 ω 6 j + 5 12 m a 2 - ω 6 k = m a 2 ω 12 6 ( - 5 i + 4 j - 5 k )

H G = m a 2 ω 12 6 5 2 + 4 2 + 5 2 = 11 m a 2 ω 12

H G = 0.276 m a 2 ω

Passo 4

(b) H G ⋅ ω = m a 2 ω 2 ( 12 ) ( 6 ) ( - 5 i + 4 j - 5 k ) ⋅ ( - i + 2 j - k ) = 18 m a 2 ω 2 ( 12 ) ( 6 ) = 1 4 m a 2 ω

H G ω = 11 12 m a 2 ω 2 c o s ⁡ θ = H G ⋅ ω H G ω = 12 4 11 = 0.90453

θ = 25.2 ∘

Resposta

a H G = 0.276 m a 2 ω

(b) θ = 25.2 ∘

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