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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 122

Para um corpo axissimétrico sem nenhuma força, prove (a) que a taxa de precessão retrógrada nunca pode ser menor que duas vezes a taxa de rotação do corpo em torno de seu eixo de simetria, (b) que na Figura 18.24 o eixo de simetria do o corpo nunca pode estar dentro do cone espacial.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a) que a taxa de precessão retrógrada nunca pode ser menor que duas vezes a taxa de rotação do corpo em torno de seu eixo de simetria, (b) que na Figura 18.24 o eixo de simetria do o corpo nunca pode estar dentro do cone espacial.

Para nenhuma força M G = 0

(a) usando Eq (18.44) 0 = I - ω 2 - I - ' φ ˙ c o s ⁡ θ φ ˙ s i n ⁡ θ

I ~ ω z - I - ' φ ˙ c o s ⁡ θ = 0

Usando

ω z = ψ ˙ + φ ˙ c o s ⁡ θ   y i e l d s   I - ψ ˙ - I → ' - I φ ˙ c o s ⁡ θ = 0 φ ˙ = T ψ ˙ ( I - - I - ) c o s ⁡ θ | φ ˙ | = I - ψ ˙ I - - I - ' s e c ⁡ θ

Para um disco plano

T ' = 1 2 I -

Para nenhuma forma

l - > 1 2 I -

Consequentemente I - - I - ' < 1 2 I  e  I ^ I - - I - ' > 2

Então,   s e c ⁡ θ > 1 | φ ˙ | > 2 ψ ˙

Passo 2

(b) t a n ⁡ γ = I l ' t a n ⁡ θ  or  t a n ⁡ θ = I ' I t a n ⁡ γ > 1 2 t a n ⁡ γ

Ângulo da superfície espacial do cone é γ - θ

Ângulo do eixo θ

t a n ⁡ θ > 1 2 t a n ⁡ [ θ + ( γ - θ ) ] = 1 21 + t a n ⁡ θ + t a n ⁡ ( γ - θ ) 2

[ 1 + t a n ⁡ θ t a n ⁡ ( γ - θ ) ] t a n ⁡ θ > 1 2 t a n ⁡ θ + 1 2 t a n ⁡ ( γ - θ )

t a n ⁡ θ + t a n 2 ⁡ θ t a n ⁡ ( γ - θ ) > 1 2 t a n ⁡ θ + 1 2 t a n ⁡ ( γ - θ )

1 2 t a n ⁡ θ > 1 2 t a n ⁡ ( γ - θ ) - t a n 2 ⁡ θ t a n ⁡ ( γ - θ ) 1 2 t a n ⁡ θ > 1 2 t a n ⁡ ( γ - θ )

t a n ⁡ θ > t a n ⁡ ( γ - θ )

θ > ( γ - θ )

O eixo desliza fora do espaço do cone

Resposta

a | φ ˙ | > 2 ψ ˙

(b)   θ > ( γ - θ )

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