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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 13

(a) Mostre que o momento angular H B de um corpo rígido sobre o Ponto B pode ser obtido adicionando ao momento angular H A desse corpo sobre o Ponto A o produto vetorial do vetor r A / B desenhado de B para A e o momento linear m v → do corpo:

H B = H A + r A B × m v →

(b) Além disso, mostre que quando um corpo rígido gira em torno de um eixo fixo, seu momento angular é o mesmo sobre quaisquer dois pontos A e B localizados no eixo fixo H A = H B se, e somente se, o centro de massa G de o corpo está localizado no eixo fixo.

Passo 1

(a) momento angular H A  e  H B   são relacionadas a H G  e  m v ¯ por

H A = r M A × m v → + H G  and  H b = r G / B × m v → + H G

Subtraindo

H B - H A = r G / B × m v ¯ - r G / A × m v ¯

H B = H A + r G / B - r ( G / A × m v ¯ = H A + r G / B + r A / G × m v →

H B = H A + r A / B × m v →

Passo 2

(b) Segue-se H A = H B , se, e somente se

r A / B × m v → = 0

Com pontos A e B localizados em eixos fixos ω = ω λ

Em que λ é um vetor unitário ao longo do eixo fixado e

v ¯ = ω × r G / A = ω λ × r G / A

Então

r A B × m ω λ × r G / A = 0

Passo 3

Mas r A / B é paralelo a λ . Consequentemente

λ × λ × r G / A = 0

Deixe u = λ × r G / A de modo a

λ × u = 0

Observe que u deve ser perpendicular a X ou igual a zero. Mas se u é perpendicular a λ , λ × u não pode ser igual a zero.

Consequentemente

u ≈ λ × r G / A = 0

r G / A  é paralelo a  λ e ponto G desliza no eixo fixo

Resposta

a H B = H A + r A / B × m v →

(b)   u ≈ λ × r G / A = 0

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