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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 134

Uma placa retangular homogênea de massa m nos lados c e 2c é mantida em A e B por um eixo com extremidade em garfo de massa desprezível, que é suportado por um rolamento em C. A placa está livre para girar em torno de AB e o eixo é livre para girar em torno de um eixo horizontal através de C. Inicialmente, a placa encontra-se no plano do garfo θ 0 = 0 e deve ter uma velocidade angular de ϕ 0 = 6 r a d / s . Se a placa estiver levemente perturbada, determine para o movimento resultante (a) o valor mínimo de ϕ ˙ , (b) o valor máximo de θ ˙ .

Passo 1

O exercício pede que a gente determine para o movimento resultante (a) o valor mínimo de ϕ ˙ , (b) o valor máximo de θ ˙ .

Usando os eixos Gxyz

ω ˙ = ϕ ˙ c o s ⁡ θ i + θ ˙ j + ϕ ˙ s i n ⁡ θ k

Conservação do momento angular

Uma vez que o quadro é livre para rodar no eixo Z

H Z =  constant

Mas H Z = H x c o s ⁡ θ + H z s i n ⁡ θ (1)

H Z = I x ω x c o s ⁡ θ + I 2 ω z s i n ⁡ θ

= 1 12 m c 2 ϕ ˙ c o s 2 ⁡ θ + 5 12 m c 2 ϕ ˙ s i n 2 ⁡ θ = 1 12 m c 2 ϕ ˙ c o s 2 ⁡ θ + 5 s i n 2 ⁡ θ = 1 12 m c 2 ϕ 1 + 4 s i n 2 ⁡ θ

Use as condições inciais. Eq (1) rende

ϕ ˙ 1 + 4 s i n 2 ⁡ θ = ϕ ˙ 0 1 + 4 s i n 2 ⁡ θ 0 (2)

Passo 2

Conservação de energia

Uma vez que nenhum trabalho é feito T=0(3)

T = 1 2 I x ω x 2 + I y ω y 2 + I z ω z 2 T = 1 2 1 12 m c 2 ϕ ˙ 2 c o s 2 ⁡ θ + 1 3 m c 2 θ ˙ 2 + 5 12 m c 2 ϕ ˙ 2 s i n 2 ⁡ θ

= 1 24 m c 2 4 θ ˙ 2 + ϕ ˙ 2 c o s 2 ⁡ θ + 5 s i n 2 ⁡ θ = 1 24 m c 2 4 θ ˙ 2 + ϕ ˙ 2 1 + 4 s i n 2 ⁡ θ

Usando as condições iniciais θ ˙ 0 = 0 , eq (3) rende

4 θ ˙ 2 + ϕ ˙ 2 1 + 4 s i n 2 ⁡ θ = ϕ ˙ 0 2 1 + 4 s i n 2 ⁡ θ 0 (4)

Passo 3

(a) com θ 0 = 0 , ϕ ˙ 0 = 6 r a d / s

Eq(2) rende ϕ ˙ = 6 1 + 4 s i n 2 ⁡ θ

ϕ ˙   é  mínimo para  θ = 90 ∘ :

ϕ ˙ m i n = 1.200 r a d / s

(b) Eq(4) rende 4 θ ˙ 2 = 36 - ϕ ˙ 2 1 + 4 s i n 2 ⁡ θ = 36 1 - 1 1 + 4 s i n 2 ⁡ θ

θ ˙ 2  é maior para  θ = 90 ∘ :

4 θ ˙ m a x 2 = 36 1 - 1 5

θ ˙ m a x 2 = 7.20

θ ˙ m a x = 2.68 r a d / s

Resposta

( a ) ϕ ˙ m i n = 1.200 r a d / s

(b)   θ ˙ m a x = 2.68 r a d / s

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