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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 115

Uma espaçonave de massa m descreve uma órbita circular de raio r 1 ao redor da Terra ( a )   Mostre que a energia adicional ∆ E , que deve ser fornecida à espaçonave para transferi-la a uma órbita circular de raio maior r 2 , é

∆ E = G M m r 2 - r 1 2 r 1 r 2

onde M é a massa da Terra. ( b ) Mostre ainda que se a transferência de uma órbita circular para outra é executada colocando-se a espaçonave em uma trajetória de transição semielíptica A B , as quantidades de energia ∆ E A   e ∆ E B   que devem ser fornecidas em A   e B são, respectivamente, proporcionais a r 2 e r 1 :

∆ E A = r 2 r 1 + r 2 ∆ E                                               ∆ E B = r 1 r 1 + r 2 ∆ E

Passo 1

Fala aí, pessoal. Beleza? Bora fazer mais uma questão de Dinâmica. Para uma órbita circular de raio r , pela segunda lei de Newton, temos:

F = m a → G M m r 2 = m v 2 r v 2 = G M r

Em seguida, vamos encontrar a energia total. Ela é dada por:

E = T + V = 1 2 m v 2 - G M m r E = - G M m 2 r

Então, para que haja uma mudança de órbita circular de r 1 para um r 2 é necessário que haja uma variação de energia ∆ E . Portanto:

∆ E = E 1 - E 2 = - G M m 2 r 1 + G M m 2 r 2 ∆ E = G M m r 2 - r 1 2 r 1 r 2  

Opa, conseguimos provar que a proposição inicial é verdadeira. Vamos para a segunda parte do problema.

Passo 2

Agora, para uma órbita elíptica temos a seguinte relação:

v l 2 = 2 G m r 1 + r 2 r 2 r 1

No ponto A , temos inicialmente uma órbita circular de raio r 1 . Logo:

v c i r c 2 = G M r 1

E também:

T c i r c = 1 2 m v c i r c 2 = 1 2 m G M r 1

Após os motores da espaçonave serem acionados, ela é colocada em uma órbita semi elíptica A B , vale relembrar que:

v l 2 = 2 G m r 1 + r 2 r 2 r 1

E que:

T 1 = 1 2 m v 1 2 = 1 2 m 2 G M r 2 r 1 ( r 1 + r 2 )

Assim, a variação de energia no ponto A   vai ser dada por:

∆ E A = T 1 - T c i r c = 1 2 m 2 G M r 2 r 1 r 1 + r 2 - 1 2 m G M r 1

Organizando esta equação, vamos encontrar:

∆ E A = r 2 r 1 + r 2 G M m r 2 - r 1 2 r 1 r 2 ∆ E A = r 2 r 1 + r 2 ∆ E

Para a variação no ponto B teremos um caminho parecido, apenas invertendo r 1   e   r 2 . Logo, vamos obter:

∆ E B = r 1 r 1 + r 2 ∆ E

É isso, galerinha. Conseguimos provar o que o enunciado nos pediu. Bora praticar mais!

Resposta

∆ E = G M m r 2 - r 1 2 r 1 r 2

∆ E A = r 2 r 1 + r 2 ∆ E

∆ E B = r 1 r 1 + r 2 ∆ E

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