Quando o módulo lunar foi deixado à deriva após o retorno de dois dos astronautas da Apollo ao módulo de comando, que orbitava a Lua a uma altitude de , sua velocidade foi reduzida para deixá--lo colidir com a superfície da Lua. Determine a menor redução de velocidade do módulo lunar para garantir que ele colida com a superfície da Lua, a redução de velocidade que o fará atingir a superfície da Lua a um ângulo de (Dica: o ponto A está no apogeu de uma trajetória elíptica de colisão. Considere também que a massa da Lua é vezes a massa da Terra.)

Sabemos que uma trajetória elíptica entre e , onde o módulo de excursão lunar é apenas tangente à superfície da lua, dará a menor redução de velocidade em , o que causará impacto.

Com isso, vamos utilizar a conservação de energia entre os pontos e :

Entretanto, antes disso, temos que determinar a energia cinética em :

Em seguida, vamos determinar a energia potencial no ponto :

Agora, vamos fazer o mesmo para o ponto . Vamos determinar a energia cinética em :

E então, vamos determinar a energia potencial no ponto :

Agora é só substituir. Fica assim:

Agora, vamos utilizar a conservação de momento angular a fim de obtermos uma segunda equação para termos um sisteminha linear e encontramos . Logo:

Resolvendo este sistema, vamos encontrar a velocidade em , dada por:

Assim, a menor redução de velocidade vai ser:

Para encontrarmos a redução de velocidade para que ele possa atingir a superfície da lua vai ser parecido com a primeira parte. Porém, as relações serão entre os pontos e .

Como , através da conservação de energia vamos encontrar a mesma relação entre e :

E então, vamos utilizar a conservação de momento angular a fim de obtermos uma segunda equação para termos um sisteminha linear e encontramos . Logo:

Resolvendo este sistema, vamos encontrar a velocidade em , dada por:

Assim, a menor redução de velocidade vai ser:

É isso, galerinha. Bora praticar mais!