Enunciado

Para o estado de tensão mostrado, sabe-se que as tensões normal e de cisalhamento estão direcionadas conforme mostra a figura e que σ x = 96,5 MPa, σ y = 62,1 MPa e σ m i n = 34,5 MPa. Determine (a) a orientação dos planos principais, (b) a tensão principal σ m a x e (c) a tensão de cisalhamento máxima no plano das tensões.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos ter que desenhar o círculo de Mohr para o estado de tensões dado. Só que para desenhar o círculo, precisamos de algumas informações. Vamos precisar da tensão média, do raio do círculo de Mohr e da tensão de cisalhamento para o estado de tensão, que não foi dada.

Depois disso, com o círculo desenhado, conseguimos encontrar a orientação dos planos principais pedida na letra (a). Depois para a letra (b), conseguimos encontrar a tensão máxima no plano das tensões através da tensão média e do raio do círculo.

E, para a letra (c), basta a gente lembrar que a tensão de cisalhamento máxima no plano das tensões é o próprio raio do círculo!

Passo 2

Vamos começar escrevendo nossas componentes de tensão que vem do elemento dado no enunciado, onde temos:

σ x = 96,5   M P a

σ y = 62,1   M P a

σ m i n = 34,5   M P a

Agora, vamos calcular a tensão média, que é dada por:

σ m e d = σ x + σ y 2 = 96,5 + 62,1 2 → σ m e d = 79,3   M P a

Agora, sabemos que o raio do círculo de Mohr pode ser encontrado através da seguinte relação:

R = σ m e d - σ m i n

Então, substituindo os valores conhecidos nessa equação, temos:

R = 79,3 - 34,5 → R = 44,8   M P a

Agora, temos uma outra equação para o raio do círculo de Mohr, que é dada por:

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Então, isolando a tensão de cisalhamento, teremos:

R 2 = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 → τ x y 2 = R 2 - σ x - σ y 2 2

τ x y = ± R 2 - σ x - σ y 2 2

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

τ x y = ± 44,8 2 - 96,5 - 62,1 2 2 → τ x y = ± 41,4   M P a

Agora, como o enunciado nos disse que as tensões no elemento dado já estavam na orientação correta, de acordo com a imagem, a nossa tensão de cisalhamento será positiva, então teremos:

τ x y = 41,4   M P a

Passo 3

Beleza! Com esses dados conseguimos esboçar nosso círculo de Mohr, que será dado por:

Beleza! Então, com o círculo de Mohr, podemos encontrar as direções principais por trigonometria, onde teremos:

t g   2 θ P = Y F C F = τ x y σ x - σ y 2 = 2 τ x y σ x - σ y

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t g   2 θ P = 2 41,4 96,5 - 62,1 → θ P = 33,7 °

Beleza, essa é uma das direções principais, sabemos que a outra fica a 180° do círculo de Mohr, ou seja, a 90° de rotação do elemento diferencial, então teremos:

θ P = 33,7 ° + 90 ° → θ P = 123,7 °

Fechamos a letra (a). Bora pra (b), agora vai ser rápido, prometo!

Passo 4

Beleza! Para a letra (b), nós sabemos que a tensão principal σ m a x é dada por:

σ m a x = σ m e d + R

Então, substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

σ m a x = 79,3 + 44,8 → σ m a x = 124,1   M P a

Pra finalizar, bora pra (c).

Passo 5

Agora, para a letra (c), conforme vimos no passo 1, basta a gente lembrar que a tensão de cisalhamento máxima no plano das tensões é o próprio raio do círculo, então temos:

τ m a x = R → τ m a x = 44,8   M P a

Feshooow!

Resposta

a :   θ P = 33,7 ° ;   θ P = 123,7 °

b :   σ m a x = 124,1   M P a

c :   τ m a x = 44,8   M P a

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