Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 34
Expresse a aceleração da gravidade a uma altitude acima da superfície da Terra em termos da aceleração da gravidade na superfície da Terra, da altitude e do raio da Terra. Determine o erro percentual se o peso que um objeto possui sobre a superfície da Terra for usado como o seu peso a uma altitude de (a) 1 km e (b) 1000 km.
Passo 1
Vamos começar esta questão determinando a relação da aceleração da gravidade a uma altitude acima da terra. Como estamos trabalhando com forças gravitacionais, é fundamental relembrarmos a equação desta força! Ela é:
Onde é uma constante, e a massa entre os dois corpos e a distância entre o centro dos dois corpos.
Portanto, se tivermos um corpo de massa na superfície da terra , então, a distância entre os dois corpos é exatamente o raio da Terra e a força será:
A força gravitacional é exatamente a força peso! Isolando a gravidade , temos:
Passo 2
Agora, nosso trabalho consiste em basicamente repetir o que fizemos no passo 1, só que para uma altura acima da Terra.
A grande diferença aqui será no da nossa força gravitacional. Ele não será apenas o raio da terra, mas sim . Com isto, teremos uma aceleração da gravidade . Então, se substituirmos na relação da força gravitacional, assim como fizemos anteriormente, temos:
O trabalho agora é reorganizar a equação acima para aparecer o termo . Para isto, temos:
E assim chegamos a primeira relação que a questão pede!
Passo 3
Agora, precisamos determinar o erro percentual do peso em relação a duas alturas. Mas, como calculamos este erro?
Este é o grande questionamento aqui. Mas fiquem tranquilos que não é nada difícil. Ele será:
Agora, é só substituirmos as relações de cada um dos pesos. Logo,
Passo 4
E para finalizarmos a questão, basta substituirmos o valor de dados no enunciado, isto é, para a letra a) e para a letra b). Sendo assim, lembrando que o raio da Terra é , temos:
E assim finalizamos a questão!