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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - J. L. Meriam - Estática - Mecânica para Engenharia- Ed: 7º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 16

A extremidade superior da barra do Prob. 15/6 agora está encostado a uma parede não vertical. Determine o valor mínimo do ângulo θ para o qual o equilíbrio é possível para μ s =   0,25 e para μ s =   0,50 .

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Bora fazer mais um exercício? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar o valor mínimo do ângulo θ para que o corpo esteja em equilíbrio em duas situações: i quando μ s =   0,25 e i i quando μ s =   0,50 . Considerando que a barra A B está apoiada na superfície inclinada em A .

Então bora resolver! Vamos começar analisando o diagrama de corpo livre da estrutura.

Onde l e W são, respectivamente, o comprimento e o peso da barra e o ângulo α que R A faz com a horizontal é dado por:

α = 105 ° - 90 ° = 15 °

Uma vez que o corpo está em equilíbrio, podemos usar as equações de equilíbrio de forças e momentos para descobrir nossas variáveis. Fazendo o somatório de forças nas direções x e y temos:

∑ F x = 0

R A cos ⁡ α - F = 0

F = R A cos ⁡ 15 °

∑ F y = 0

N + R A sen ⁡ α - W = 0

N = W - R A sen ⁡ 15 °

Passo 2

Além disso, para a condição de equilíbrio, temos:

F ≤ μ s N

Para o primeiro caso, temos na condição limite que μ s = 0,25 :

F = 0,25 N

∴ R A cos ⁡ 15 ° = 0,25 W - R A sen ⁡ 15 °

R A cos ⁡ 15 ° + 0,25 R A sen ⁡ 15 ° = 0,25 W

R A cos ⁡ 15 ° + 0,25 sen ⁡ 15 ° = 0,25 W

R A = 0,25 W cos ⁡ 15 ° + 0,25 sen ⁡ 15 °

R A = 0,243 W

Passo 3

Finalmente, fazendo o equilíbrio de momentos em torno de B :

∑ M B = 0

W * l 2 cos ⁡ θ - R A cos ⁡ α * l sen ⁡ θ - R A sen ⁡ α * l cos ⁡ θ = 0

W * l 2 cos ⁡ θ - 0,243 W cos ⁡ 15 ° * l sen ⁡ θ - 0,243 W sen ⁡ 15 ° * l cos ⁡ θ = 0

cos ⁡ θ W * l 2 - 0,243 W sen ⁡ 15 ° * l = sen ⁡ θ 0,243 W cos ⁡ 15 ° * l

sen ⁡ θ cos ⁡ θ = l * W * 1 2 - 0,243 sen ⁡ 15 ° l * W * 0,243 cos ⁡ 15 °

tan ⁡ θ = 1 2 - 0,243 sen ⁡ 15 ° 0,243 cos ⁡ 15 °

θ = tan - 1 ⁡ 1,862

θ = 61,8 °

Passo 4

Para o segundo caso, basta a gente substituir μ s = 0,50 na equação:

F = 0,50 N

∴ R A cos ⁡ 15 ° = 0 , 5 0 W - R A sen ⁡ 15 °

R A cos ⁡ 15 ° + 0 , 5 0 R A sen ⁡ 15 ° = 0 , 5 0 W

R A cos ⁡ 15 ° + 0 , 5 0 sen ⁡ 15 ° = 0 , 5 0 W

R A = 0 , 5 0 W cos ⁡ 15 ° + 0 , 5 0 sen ⁡ 15 °

R A = 0 , 4 565 W

Passo 5

E pelo equilíbrio de momentos em torno de B :

∑ M B = 0

W * l 2 cos ⁡ θ - R A cos ⁡ α * l sen ⁡ θ - R A sen ⁡ α * l cos ⁡ θ = 0

W * l 2 cos ⁡ θ - 0,4565 W cos ⁡ 15 ° * l sen ⁡ θ - 0,4565 W sen ⁡ 15 ° * l cos ⁡ θ = 0

cos ⁡ θ W * l 2 - 0,4565 W sen ⁡ 15 ° * l = sen ⁡ θ 0,4565 W cos ⁡ 15 ° * l

sen ⁡ θ cos ⁡ θ = l * W * 1 2 - 0,4565 sen ⁡ 15 ° l * W * 0,4565 cos ⁡ 15 °

tan ⁡ θ = 1 2 - 0,4565 sen ⁡ 15 ° 0,4565 cos ⁡ 15 °

θ = tan - 1 ⁡ 0,866

θ = 40,9 °

Ufa! Essa já foi hein? Partiu pra próxima!

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Resposta

θ = 61,8 °

θ = 40,9 °

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