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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 151

Um fazendeiro utiliza cabos e guinchos B e E para aprumar uma lateral de um pequeno celeiro. Sabendo que a soma dos momentos em relação ao eixo x das forças exercidas pelos cabos sobre o celeiro nos pontos A e D é igual a 6.400   N ⋅ m , determine a intensidade de T D E quando T A B = 1.134   N .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A questão quer saber o valor de T D E quando T A B = 1134   N . A primeira coisa que temos que fazer é o diagrama de corpo livre para poder relacionar essas tenções:

Observe que no enunciado, nos foi dito que o somatório dos momentos, exercidos pelas tensões T A B e T D E , em torno do eixo x seria igual a 6400   N ⋅ m .

Pelo diagrama, podemos notar que somente as componentes em z das forças geram momento em torno de x , portanto teremos o seguinte arranjo:

M x = T A B z ⋅ y A + T D E z ⋅ y D

Passo 2

Agora que já temos uma relação entre as tensões, precisamos descobrir as incógnitas.

Sabemos que:

M x = 6400   N ⋅ m

T A B z = T A B cos ⁡ θ 1

T D E z = T D E cos ⁡ θ 2

Precisamos então descobrir os ângulos que as tensões fazem com a vertical.

Vamos descobrir os comprimentos A C e D F . Temos que:

A C = A - C

A C = 0,3 i + 3,65 j + 0 k - 0 i + 0 j + 3,65 k

Resolvendo, temos:

A C = 0,3 i + 3 , 65 j - 3,65 k

Seu módulo será:

A C = 0,3 2 + 3 , 65 2 + - 3,65 2

A C = 5,17   m

Para D F , temos o mesmo procedimento:

D F = D - F

D F = 0 i + 4,3 j + 0 k - 0 , 4 i + 0 j + 3,65 k

Resolvendo, temos:

D F = - 0,4 i + 4,3 j - 3,65 k

Seu módulo será:

D F = - 0 , 4 2 + 4,3 2 + - 3,65 2

D F = 5 , 65   m

Passo 3

Agora ficou fácil de encontrar os ângulos:

cos ⁡ θ 1 = 3,65 5,17

cos ⁡ θ 1 = 0,706

Resolvendo o cos ⁡ θ 2 , temos:

cos ⁡ θ 2 = 3,65 5,65

θ 2 = 0,645

Portanto, substituindo os valores conhecidos, temos:

T A B z = 1134 ( 0,706 )

T A B z = 800,604   N

T D E z = T D E 0,645

Passo 4

Utilizando a equação do momento, temos:

M x = T A B z ⋅ y A + T D E z ⋅ y D

Substituindo os resultados, temos:

6400 = 800,604   3,65 + 0,645 T D E 4,3

Isolando T D E e resolvendo, encontraremos:

T D E = 1253,1   N

Resposta

T D E = 1253,1   N

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