A figura representa uma estrutura unidimensional idealizada de massa uniforme ρ por unidade de comprimento de deslocando horizontalmente com uma velocidade v 0 quando sua extremidade dianteira colide com uma barreira imóvel e é esmagada. A força F necessária para iniciar e manter uma deformação tipo sanfona é constante. Despreze o comprimento b da parte colapsada da estrutura em comparação com o movimento de s da parte não deformada após o impacto. A parte sem deformação pode ser considerada como um corpo cuja massa diminui. Desenvolva a equação diferencial que relaciona F a s , s ˙ e s ¨ usando a Eq. 4 / 20 cuidosamente. Verifique a sua expressão através da aplicação da Eq. 4 / 6 a ambas as partes em conjunto como um sistema de massa constante.

Passo 1

A equação que o enunciado mencionou é a seguinte:

∑ F = m v ˙ + m ˙ u

Essa equação diz que a soma das forças externas sobre um corpo tem dois resultados: gera uma taxa de variação na velocidade de forma propocional à massa, e gera uma taxa de variação na massa de forma proporcional à velocidade.

No nosso caso, a única força externa agindo sobre a estrutura é a força F que está ilustrada na figura:

∑ F = F

E nós podemos calcular a massa em função de ρ , e do fato que podemos desprezar a massa parte colapsada (conforme foi dito no enunciado):

m = ρ ( L - s )

E podemos derivar essa expressão em relação ao tempo para obter m ˙ :

m ˙ = - ρ s ˙

Já que L é uma constante, e por isso sua derivada é nula. Então por enquanto temos o seguinte:

F = ρ L - s v ˙ - ρ s ˙ u

Passo 2

Agora vamos procurar expressões para v ˙ e u . A velocidade com que a estrutura se move é a taxa de variação da coordenada s :

v = - s ˙

E o sinal negativo aparece porque o sentido positivo foi definido como horizontal para a direita.

Derivando essa equação em relação ao tempo:

v ˙ = - s ¨

E agora u é a velocidade com que a ponta da estrutura é amassada:

u = - s ˙

Então nossa equação fica assim:

F = ρ L - s v ˙ - ρ s ˙ u

F = ρ L - s - s ¨ - ρ s ˙ ( - s ˙ )

F = ρ s ˙ 2 - ρ L - s s ¨

Beleza, encontramos a expressão que foi pedida.

Passo 3

A outra equação que o enunciado sugeriu é a seguinte:

∑ F = G ˙

Onde G é o momento linear do sistema. A soma das forças externas continua sendo a mesma:

∑ F = F

E precisamos de uma expressão para o momento linear:

G = m v

Vamos usar as mesmas expressões para a massa e para a velocidade:

m = ρ ( L - s )

Perceba que essa fórmula da massa é válida para qualquer momento, inclusive antes da colisão, que corresponde ao caso s = 0 .

v = - s ˙

G = - ρ L - s s ˙

E agora vamos derivar essa equação em relação ao tempo. Lembre de aplicar a regra do produto:

G ˙ = d d t - ρ L - s s ˙ - ρ L - s d d t s ˙

G ˙ = ρ s ˙ 2 - ρ L - s s ¨

E então:

F = G ˙

F = ρ s ˙ 2 - ρ L - s s ¨

Que é exatamente a mesma equação de antes!

Resposta

A força é dada por F = ρ s ˙ 2 - ρ L - s s ¨ .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados