Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 4.7 - Ex. 78
A figura representa uma estrutura unidimensional idealizada de massa uniforme por unidade de comprimento de deslocando horizontalmente com uma velocidade quando sua extremidade dianteira colide com uma barreira imóvel e é esmagada. A força necessária para iniciar e manter uma deformação tipo sanfona é constante. Despreze o comprimento da parte colapsada da estrutura em comparação com o movimento de da parte não deformada após o impacto. A parte sem deformação pode ser considerada como um corpo cuja massa diminui. Desenvolva a equação diferencial que relaciona a , e usando a Eq. cuidosamente. Verifique a sua expressão através da aplicação da Eq. a ambas as partes em conjunto como um sistema de massa constante.
Passo 1
A equação que o enunciado mencionou é a seguinte:
Essa equação diz que a soma das forças externas sobre um corpo tem dois resultados: gera uma taxa de variação na velocidade de forma propocional à massa, e gera uma taxa de variação na massa de forma proporcional à velocidade.
No nosso caso, a única força externa agindo sobre a estrutura é a força que está ilustrada na figura:
E nós podemos calcular a massa em função de , e do fato que podemos desprezar a massa parte colapsada (conforme foi dito no enunciado):
E podemos derivar essa expressão em relação ao tempo para obter :
Já que é uma constante, e por isso sua derivada é nula. Então por enquanto temos o seguinte:
Passo 2
Agora vamos procurar expressões para e . A velocidade com que a estrutura se move é a taxa de variação da coordenada :
E o sinal negativo aparece porque o sentido positivo foi definido como horizontal para a direita.
Derivando essa equação em relação ao tempo:
E agora é a velocidade com que a ponta da estrutura é amassada:
Então nossa equação fica assim:
Beleza, encontramos a expressão que foi pedida.
Passo 3
A outra equação que o enunciado sugeriu é a seguinte:
Onde é o momento linear do sistema. A soma das forças externas continua sendo a mesma:
E precisamos de uma expressão para o momento linear:
Vamos usar as mesmas expressões para a massa e para a velocidade:
Perceba que essa fórmula da massa é válida para qualquer momento, inclusive antes da colisão, que corresponde ao caso .
E agora vamos derivar essa equação em relação ao tempo. Lembre de aplicar a regra do produto:
E então:
Que é exatamente a mesma equação de antes!
Resposta
A força é dada por .