Um rolo de cabo flexível pesado com um comprimento total de 100 metros e uma massa de 1,2   k g / m deve ser estendido ao longo de uma linha reta horizontal. A extremidade está presa a uma estaca em A , e o cabo se solta do rolo e sai através da abertura horizontal no carrinho como mostrado. O carrinho e o tambor juntos possuem uma massa de 40   k g . Se o carrinho está se deslocando para a direita com uma velocidade de 2   m / s quando 30 metros de cabo permanecem no tambor e a tração da corda na estaca é 2,4   N , determine a força P necessária para dar ao carrinho e ao tambor uma aceleração de 0,3   m / s 2 . Despreze totalmente o atrito.

Passo 1

Vamos começar olhando para a equação que dá a soma das forças externas sobre o carrinho:

∑ F = m v ˙ + m ˙ u

Nesse caso as duas forças são as seguintes: a tração da corda puxando para a esquerda na horizontal, e a força P puxando para a direita:

∑ F = P - T

E queremos considerar isso no instante em que a tração da corda é:

T = 2,4   N

∑ F = P - 2,4

Passo 2

E como a ideia é produzir uma aceleração de 0,3   m / s 2 para a direita, já podemos dizer que:

v ˙ = 0,3 m / s 2

E queremos considera isso no instante em que a velocidade do carrinho é:

u = 2   m / s

E 30 metros do cabo ainda estão dentro do tambor. Como cada metro de cabo tem uma massa de 1,2   k g , a massa do carrinho nesse instante é:

m = 40 + 30 1,2 = 76   k g

E agora só falta encontrar uma expressão para a taxa de variação da massa. Bom, o carrinho se move por 2 metros a cada segundo, e cada metro da corda tem 1,2   k g , então:

  m ˙ = - 1,2 2 = - 2,4   k g / s

Passo 3

Agora podemos substituir tudo na equação do passo 1 :

P - 2,4 = m v ˙ + m ˙ u

P - 2,4 = 76 0,3 + ( - 2,4 ) ( 2 )

P = 22,8 - 4,8 + 2,4

P = 20,4   N

Resposta

A força necessária é P = 20,4   N .

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