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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 82

Uma haste delgada de 3 kg AB é aparafusada a um disco uniforme de 5 kg. Uma mola de 280 constante. N / m é fixada ao disco e não esticada na posição mostrada. Se a extremidade da haste receber um pequeno deslocamento e for liberada, determine o período de vibração do sistema.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o período de vibração do sistema.

r = 0.08 m l = 0.3 m

Posição 1 T 1 = 1 2 J → d i s c o θ ˙ m 2 + 1 2 J A h a s t e θ ˙ m 2

V 1 = 0

J disco  = 1 2 m 0 r 2

J A h a s t e = 1 3 m A l l 2

Passo 2

Posição 2 T 2 = 0

V 2 = 1 2 k r θ m 2 + m A B g l 2 1 - c o s ⁡ θ m

1 - c o s ⁡ θ m = 2 s i n 2 ⁡ θ m 2 ≈ θ m 2 2

V 2 = 1 2 f r 2 θ m 2 + m A β g I 2 2 θ m 2

Conservação de energia

T 1 + V 1 = T 2 + V 2 : 1 2 1 2 m 0 r 2 + 1 3 m A B l 2 θ ˙ m 2 + 0 = 0 + 1 2 k r 2 θ m 2 + 1 2 m A B g l 2 θ m 2

Para movimento harmônico simples θ ˙ m = ω n θ m

1 2 m 0 t 2 + 1 3 m A B l 2 ω n 2 θ m 2 = k r 2 + m A B g I 2 θ m 2

ω n 2 = k r 2 + m A B g l 1 2 m 0 r 2 + 1 3 m A B l 2

ω n 2 = ( 280 N / m ) ( 0.08 m ) 2 + ( 3 k g ) 9.81 m / s 2 0.3 2 m 1 2 ( 5 k g ) ( 0.08 m ) 2 + 1 3 ( 3 k g ) ( 0.300 m ) 2

ω n 2 = 6.207 0.106 = 58.55

Período de vibração τ n = 2 π ω n = 2 π 58.55

τ n = 0.821 s

Resposta

τ n = 0.821 s

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