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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 62

Um fio homogêneo dobrado para formar a figura mostrada é preso a um suporte de pino em A. Sabendo que r = 16 pol. E que o ponto B é empurrado para baixo 1,5 pol. E liberado, determine a magnitude da aceleração de B, 10 s depois .

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a magnitude da aceleração de B, 10 s depois .

Começaremos determinando a localização do centroide G

Deixe

ρ = m a s s a   p o r   u n i d a d e   d e   c o m p r i m e n t o

Então a massa total

m = ρ ( 2 r + π r ) = ρ r ( 2 + π )

Sobre C

m g c = 0 + π r ρ 2 r π g = 2 r 2 ρ g

y → = 2 r π para um semicírculo

ρ r 2 + π c = 2 r 2 ρ                     c = 2 r ( 2 + π )

Passo 2

Equação do movimento

+ ∑ M 0 = Σ M 0 e f f : α = θ ¨             a i = c α = c θ ¨

- m g c sin ⁡ θ = I - α + m c a n                 s i n ⁡ θ ≈ θ

I - + m c 2 θ ¨ + m g c θ = 0                     I 0 θ ¨ + m g c θ = 0

Momento de Inércia

I ~ + m c 2 = I 0

I 0 = I 0 semicirc.  + I 0 linha  = m semicirc.  r 2 + m linha  ( 2 r ) 2 12

m semicirc.  = ρ π r m linha  = 2 ρ r ρ = m r ( 2 + π )

I 0 = ρ π r ⋅ r 2 + 2 r ⋅ r 2 3 = m r 2 ( 2 + π ) π + 2 3

m r 2 ( 2 + π ) π + 2 3 θ ¨ + m g 2 r ( 2 + π ) θ = 0

Passo 3

Frequência

ω n 2 = 2 g π + 2 3 r = ( 2 ) ( 32.2 ) π + 2 3 ( 16 / 12 ) ω n 2 = 12.685 s - 2                                   ω n = 3.5613 r a d / s θ = θ m s i n ⁡ ω n t + ϕ             y B = r θ

y B = r θ m s i n ⁡ ω n t + ϕ = y B m s i n ⁡ ω n t + ϕ

Em t=0 y B = 1.5  in.            y ˙ B = 0

( t = 0 ) : y ˙ B = 0 = y R m c o s ⁡ ( 0 + ϕ ) ϕ = π 2

y B = 1.5 i n . = y B m sin ⁡ 0 + π 2                       y B 3 n = 1.5 m y B = ( 1.5   i n .   ) s i n ⁡ ω n t + π 2                                     ω n = 3.5613 r a d / s

y ˙ B = ( 1.5 ) ω n c o s ⁡ ω n t + π 2 = - ( 1.5 ) ω n s i n ⁡ ω n t y ¨ B = ( - 1.5 ) ω n 2 s i n ⁡ ω n t + π 2 = 1.5 ω n 2 c o s ⁡ ω n t

Passo 4

Em t = 10s

a B t = y ¨ l l = ( 1.5 ) ( 3.5613 ) 2 c o s ⁡ ( 3.5613 ) ( 10 ) = - 9.375 i n / s 2 v B = y ˙ B = - ( 1.5 ) ( 3.5613 ) s i n ⁡ ( 3.5613 ) ( 10 ) = - 4.648 i n / s

a B = a B t 2 + v B 2 r 2 1 2 = ( - 9.375 ) 2 + ( - 4.648 ) 2 16 2 1 2 = 9.45 i n ⋅ s 2

Resposta

a B =   9.45 i n ⋅ s 2

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