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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 95

Um braço uniforme ABC de 750 g é sustentado por um pino em B e está ligada a uma mola em A. O braço está unido em C a uma massa m de 1,5 kg que está ligado a uma mola. Sabendo que cada mola pode atuar em tração ou compressão, determine a frequência de pequenas oscilações do sistema quando o peso recebe um pequeno deslocamento vertical e é liberado.

Passo 1

E ai gurizada tudo belezinha??? O enunciado pede que a gente determine a frequência de pequenas oscilações do sistema quando o peso recebe um pequeno deslocamento vertical e é liberado

Passo 2

Posição ①: k C = 1.5 12 = 18   l b / f t

k A = 2 12 = 24   l b / f t

T 1 = 1 2   Ī B C θ m ˙ 2 + 1 2   m B C l B C 2 2   θ m 2 ˙ + 1 2   Ī B A   θ m 2 ˙ + 1 2   m B A l B C 2 2   θ m 2 ˙ + 1 2   m y m 2 ˙

Ī B C = m B   l B C 2 2 = 1 12   m B C   l B C 2 + 1 4   m B C   l B C 2 = 1 3   m B C     l B C 2

Ī B A = m B A   l A b 2 2 = 1 12   m A B   l A B 2 + 1 4   m A B   l A B 2 = 1 3   m A B     l A B 2

W B C = 17 20     W A B C = 3 5   1.4   l b = 0.840   l b

W B A = 8 20     W A B C = 2 5   1.4   l b = 0.560   l b

1 3   m B C l B C 2 = 1 3   0.840   l b 32.2   f t / s ² ( 1   f t ) ²   = 0.008696   l b ∙ s ² ∙ f t

1 3   m B A l B A 2 = 1 3   ( 0.56   l b ) ( 32.2   f t / s ² ( 2 3   f t ) ²   = 0.002577   l b ∙ s ² ∙ f t

y m ˙ =   l B C θ m ˙

m y m 2 ˙ = m l B C 2   θ m 2 ˙ = 3   l b ( 32.2   f t / s ² )   ( 1   f t ) ²   θ m 2 ˙ = 0.09317     θ m 2 ˙

T 1 = 1 2   [ 0.008696 + 0.002577 + 0.09317 ]   θ m 2 ˙

= 0.1044   θ 2 ˙ 2   m

V 1 = 1 2     k C ( δ S T ) C 2 + 1 2   k A ( δ S T ) A 2

Passo 3

Posição ②: T 2 = 0

V 2 = W l B C θ m + W B C l B C 2 θ m - W B A l A B 2 ( 1 - cos ⁡ θ m )

+   1 2 k C ( l B C θ m + ( δ S T ) c ) 2 + 1 2   k A ( l A B θ m + δ S T ) A 2

Quando o sistema está em equilíbrio θ = 0 :

∑ M B = 0   W   l B C + W l B C l B C 2 - k C ( δ S T ) A l B C -   k A ( δ S T ) A l A B - 1 cos ⁡ θ m - 2 sin ⁡ ² θ m 2 = θ m 2 2

V 2 = W   l B C + W B C l B C 2 θ m - W B A l A B 2 θ m 2 2 + 1 2   k C l B C 2 θ m 2 - k C ( δ S T ) C l B C θ m + 1 2   k C     ( δ S T ) C 2 + 1 2 k A   l B C 2 θ m 2 - k A ( δ S T ) A   l A B θ m + 1 2   k A   ( δ S T ) A 2

Passo 4

Levando a Equação anterior em consideração,

V 2 = - W B A l A B 2 θ m 2 2 + 1 2   k C l B C 2 θ m 2 + 1 2   k C     ( δ S T ) C 2   +   1 2   k C l B C 2 θ m 2 + 1 2   k A   ( δ S T ) A 2

V 2 = 1 2 - 0.560 1 3 + 18 1 2 + 24 2 3 ² θ m 2 + 1 2   k C     ( δ S T ) C 2 + 1 2   k A     ( δ S T ) A 2

V 2 = 1 2 - 0.1867 + 18 + 10.67 θ m 2 + 1 2   k C     ( δ S T ) C 2 + 1 2   k A     ( δ S T ) A 2

V 2 = 1 2 28.48 θ m 2 + 1 2   k C     ( δ S T ) C 2 + 1 2   k A     ( δ S T ) A 2

Passo 5

Energia de conservação:

T 1 + V 1 = T 2 + V 2 :                 1 2 ( 0.1044 )   θ m 2 ˙ + 1 2   k C     ( δ S T ) C 2 + 1 2   k A     ( δ S T ) A 2

= 0 + 1 2 28.48 θ m 2 + 1 2   k C     ( δ S T ) C 2 + 1 2   k A     ( δ S T ) A 2

Movimento harmônico simples:

θ m ˙ = ω n θ m

0.1044   ω n θ m = 24.92 θ m 2

ω n 2 = 28.48 0.1044 = 272.8   s - 2

Frequência: ƒ n = ω n 2 π = 272.8 2   π

Resposta

ƒ n = 2.63   H z

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