Enunciado

O foguete está em uma órbita elíptica de voo livre em torno da Terra de tal maneira que e = 0,76 , como mostrado. Determine sua velocidade escalar quando ele está no ponto A . Também determine a variação súbita na velocidade escalar que o foguete tem que passar em B a fim de se mover em voo livre ao longo da órbita indicada pela trajetória pontilhada.

Passo 1

O encunciado nos dá a seguinte informação:

Órbita elíptica com excentricidade e = 0,76 .

Devemos determinar a velocidade escalar do foguete no ponto A e a variação de velocidade sofrida ao passar em B , para que sua órbita seja alterada para uma segunda trajetória elíptica que agora passará pelo ponto C .

Suponha que o raio da Terra é 6378 km;

A massa da Terra é de M e = 5,976(1024) kg;

A massa do Sol é de M s = 1 ,99(1030) kg;

A constante gravitacional é de G = 66,73 10 - 12   m 3 / ( k g   s 2 ) .

Raio da Terra: r T = 6378   k m

Passo 2

Sabemos que a excentricidade é igual a

e = C h 2 G M e

Onde as constantes C e h são definidas por

C = 1 r 0 1 - G M e r 0 v 0 2

h = r 0 v 0

Substituindo C e h na equação da excentricidade e colocando v 0 em evidência, obtemos

e = C h 2 G M e

e = r 0 v 0 2 G M e 1 - G M e r 0 v 0 2 = r 0 v 0 2 G M e - 1

v 0 2 = G M e r 0 ( e + 1 )

v 0 = G M e r 0 e + 1

Substituindo os valores de e ,   r 0 ,   G e M e para a primeira trajetória, temos que

v 0 = G M e r 0 e + 1 = 66,73 10 - 12 ( 5,976 ) ( 10 24 ) 9 ( 10 6 ) 0,76 + 1

v 0 = 8831   m / s

Onde v 0 = v B .

Como h é uma constante, podemos utilizar a seguinte relação para encontrar v A :

h = r 0 v B = r A v A

logo,

9 ( 10 6 ) ( 8831 ) = ( 8 + 5 ) ( 10 6 ) v A

v A = 6113   m / s

Passo 3

Agora vamos analisar a segunda trajetória.

Nesta nova trajetória, r 0 = r C , v 0 = v C , r a = r B e v a = v B .

Primeiramente, vamos encontrar a excentricidade e . Sabemos que

e = r 0 v 0 2 G M e - 1

Porém, não sabemos a velocidade v 0   no ponto C .

Sabemos que, em uma trajetória elíptica, a seguinte relação é verdadeira:

r a = r 0 2 G M e r 0 v 0 2 - 1

Relacionando ambas as equações citadas, obtemos

r a = r 0 2 1 e + 1 - 1

Substituindo os valore de r 0 e r a , podemos encontrar e :

2 1 e + 1 - 1 = r 0 r a

2 1 e + 1 = r 0 r a + 1  

2 1 r 0 r a + 1   = e + 1

e = 2 1 8 ( 10 6 ) 9 ( 10 6 ) + 1 - 1 = 0,05882

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar v C .

v C = G M e r C e + 1 = 66,73 10 - 12 ( 5,976 ) ( 10 24 ) 8 ( 10 6 ) 0,05882 + 1

v c = 7265   m / s

Como h é uma constante, podemos utilizar a seguinte relação para encontrar v B :

h = r B v B = r C v C

logo,

9 10 6 v B = ( 8 ) ( 10 6 ) ( 7265 )

v B = 6458   m / s

Passo 5

Portanto, a variação em B será de

∆ v = 6458 -   8831 = - 2,37   m / s

Ou seja, a velocidade irá diminuir para que o foguete consiga sair da primeira trajetória elíptica e entre na órbita pontilhada.

Resposta

v A = 6113   m / s

∆ v = - 2,37   m / s

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