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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - J. L. Meriam - Estática - Mecânica para Engenharia- Ed: 7º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 147

A força F → atua ao longo de um elemento do cone circular direito, como mostrado. Determine o sistema de força-binário equivalente no ponto O.

Passo 1

Fala galera! Tudo certo? Vamos dividir a resolução em algumas etapas, beleza? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar o sistema de força-binário equivalente no ponto O. Vamos começar pela força. Uma vez que temos apenas a força F → atuando no cone, a força resultante do sistema força-binário será exatamente essa força.

Podemos expressar F → como um produto de seu módulo pelo vetor unitário  n F → :

F → = F n ^ F

Para definir o vetor unitário, vamos chamar a linha de ação de F → de A B - :

n ^ F = A B → A B -

n ^ F = h 2 cos ⁡ θ - 0 i ^ + h 2 sen ⁡ θ - 0 j ^ + 0 - h k ^ h 2 cos ⁡ θ - 0 2 + h 2 sen ⁡ θ - 0 2 + 0 - h 2

n ^ F = h 2 cos ⁡ θ i ^ + h 2 sen ⁡ θ j ^ + - h k ^ h 2 2 ( cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ ) + h 2

Uma vez que:

cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ = 1

∴ n ^ F = h 2 cos ⁡ θ i ^ + h 2 sen ⁡ θ j ^ + - h k ^ h 2 4 + h 2

n ^ F = h 2 cos ⁡ θ i ^ + h 2 sen ⁡ θ j ^ + - h k ^ 5 2 h

n ^ F = 1 5 ( cos ⁡ θ i ^ + sen ⁡ θ j ^ - 2 k ^ )

Parece muita conta né? Mas no final ficou bem simples.

Então, substituindo na fórmula da força do sistema força-binário, nós temos:

F → = F 5 ( cos ⁡ θ i ^ + sen ⁡ θ j ^ - 2 k ^ )

Passo 2

Show de bola! Feito isso, para calcular nosso momento do sistema força-binário no ponto O, precisamos do vetor distância do ponto de aplicação da força até o ponto O. Definimos no Passo 1 a linha de ação da força como a linha A B - , como a força está no sentido de A para B, o ponto de aplicação de F → para determinar o vetor distância é o próprio A. Top! Agora é só expressar vetorialmente o segmento que liga o ponto O ao ponto A, o que é bem simples, já que eles estão na mesma direção z :

r O A → = 0 i ^ + 0 j ^ + h k ^  

r O A → = h k ^

Agora temos tudo que precisamos para calcular o momento sobre o ponto O:

M → = r O A → × F →

M O → = h k ^ × F 5 cos ⁡ θ i ^ + sen ⁡ θ j ^ - 2 k ^

M O → = F h 5 cos ⁡ θ j ^ - sen ⁡ θ i ^

M O → = F h 5 - sen ⁡ θ i ^ + cos ⁡ θ j ^

Ufa! Essa já foi hein? Partiu pra próxima!

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Resposta

F → = F 5 ( cos ⁡ θ i ^ + sen ⁡ θ j ^ - 2 k ^ )

M O → = F h 5 - sen ⁡ θ i ^ + cos ⁡ θ j ^

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