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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 3.4 - Ex. 30

Uma corrente pesada com uma massa ρ por unidade de comprimento é puxada pela força constante P ao longo de uma superfície horizontal constituída por uma parte lisa e uma parte rugosa. Se a corrente está inicialmente em repouso sobre a superfície lisa com x = 0 e se o coeficiente de atrito dinâmico entre a corrente e a superfície rugosa é μ k , determine a velocidade v da corrente quando x = L . Suponha que a corrente permanece esticada e, portanto, se desloca como uma unidade ao longo de todo o movimento. Qual é o valor mínimo de P que irá permitir a corrente permanecer esticada? (Sugestão: A aceleração não deve se tornar negativa.)

Passo 1

Podemos enxergar essa corrente como dois corpos de massa variável interligados. O corpo A seria a parte da corrente que está na superfície rugosa, cuja massa depende da distância x assim:

m A = ρ   x

Considerando a massa total da corrente M = ρ L , o corpo B seria o restante da corrente, em contato com a superfície lisa, e teria a massa restante:

m B = ρ L - ρ x = ρ   L - x

A corrente (ou o conjunto dos dois corpos) está submetida a duas forças na horizontal que se opõem: a força P para a direita e a força de atrito F a t para a esquerda. A força de atrito é aplicada somente no corpo A , então:

F a t = μ k N A = μ k m A g = μ k ρ x g

F a t = μ k g ρ   x

Passo 2

Apliquemos então a Segunda Lei de Newton à corrente:

P - F a t = M a

P - μ k g ρ x = ρ L a

a x = P - μ k g ρ   x ρ L

Isso significa que temos uma aceleração variável, dependendo da posição x . Como a varia linearmente com x , podemos calcular uma aceleração média entre os instantes inicial e final quando x = 0 e quando x = L , respectivamente:

a m é d = a 0 + a L 2 = 1 2 P - 0 ρ L + P - μ k g ρ   L ρ L

a m é d = 2 P - μ k g ρ L 2 ρ L

Passo 3

Com a aceleração média que obtivemos, podemos enfim calcular a velocidade v da corrente quando x = L . Usaremos a seguinte equação:

v 2 - v 0 2 = 2 a m é d x - x 0

v 2 - 0 2 = 2 2 P - μ k g ρ L 2 ρ L ( L - 0 )

v 2 = 2 P - μ k g ρ L ρ = 2 P ρ - μ k g L

v = 2 P ρ - μ k g L

Passo 4

Para que a corrente permaneça esticada, a aceleração não pode se tornar negativa. Então, para calcular o valor mínimo de P , fazemos assim:

a x > 0

P - μ k g ρ   x ρ L > 0

P - μ k g ρ   x > 0

P > μ k g ρ   x

Como devemos ter aceleração positiva em todo o trajeto, substituímos x = L para obter o valor mínimo de P :

P m i n = μ k g ρ L

Resposta

v = 2 P ρ - μ k g L

P m i n = μ k g ρ L

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