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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 82

A função potencial associada com a força P no espaço é conhecida por ser V x , y , z = - x 2 + y 2 + z 2 1 / 2 . (a) Determine os componentes x ,   y   e   z de P . (b) Calcule o trabalho feito por P de O para D por integração ao longo do caminho O A B D e mostra que este valor é igual ao negativo da variação no potencial de O a D .

Passo 1

Podemos escrever que:

P x = ∂ V ∂ x

P x = ∂ - x 2 + y 2 + z 2 1 2 ∂ x

P x = x x 2 + y 2 + z 2 1 / 2

Com relação a y , temos:

P y = ∂ V ∂ y

P y = ∂ - x 2 + y 2 + z 2 1 2 ∂ y

P y = y x 2 + y 2 + z 2 1 / 2

E com relação a z , temos:

P z = ∂ V ∂ z

P z = ∂ - x 2 + y 2 + z 2 1 2 ∂ z

P z = z x 2 + y 2 + z 2 1 / 2

Sendo estes os componentes de P .

Passo 2

O trabalho realizado por esta força sobre o caminho é dado por:

U O A B D = U O A + U A B + U B D

Analisando o caminho O A , temos que ele se dá no eixo z , portanto as componentes P x e P y não entram no calculo da integral, pois serão perpendiculares ao caminho. Logo:

U O A = ∫ 0 a P z d z

Temos que em O A , P z = 1 , logo:

U O A = a

Analisando A B , temos que P y e P z que fazem a relação de perpendicularidade. Neste caminho, temo que y = 0 , z = a e P x = x x 2 + a 2 1 2 , logo:

U A B = ∫ 0 a x x 2 + a 2 1 2

U A B = a 2 - 1

Analisando agora B D , temos que P x e P z são perpendiculares e x = z = a , logo:

P y = y y 2 + 2 a 2 1 2

Aplicando à integral, temos:

U B D = ∫ 0 a y y 2 + 2 a 2 1 2

U B D = a 3 - 2

Passo 3

Somando os termos, temos que:

U O A B D = a + a 2 - 1 + a 3 - 2

U O A B D = a 3

A variação de potencial de O para D é dada por:

∆ V O D = V a , a , a - V 0,0 , 0

∆ V O D = - a 2 + a 2 + a 2 1 2

∆ V O D = - a 3

Ficando assim provado que o trabalho realizado é igual ao negativo da variação de potencial.

Resposta

a )   P x = x x 2 + y 2 + z 2 1 / 2

P y = y x 2 + y 2 + z 2 1 / 2

P z = z x 2 + y 2 + z 2 1 / 2

b ) U O A B D = a 3

  ∆ V O D = - a 3

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