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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 103

Uma espaçonave aproxima-se do planeta Saturno, atingindo o ponto A com uma velocidade V A de intensidade de 21 × 10 3   m / s . Ela é posta em uma órbita elíptica em torno de Saturno, de modo que estará apta a examinar periodicamente Tétis, uma das luas de Saturno. Tétis está em uma órbita circular de raio 293 × 10 3   k m em torno do centro de Saturno, viajando a uma velocidade de 11 × 10 3   m / s . Determine (a) o decréscimo de velocidade da espaçonave em A necessário para que ela atinja a órbita desejada, (b) a velocidade da espaçonave quando ela alcançar a órbita de Tétis em B .

Passo 1

Olá! Tudo bem com você?

O enunciado e a figura nos fornecem como dados:

v A = 21 × 10 3   m / s

r B = 293 × 10 3   k m = 293 × 10 6   m

v c i r c = 1 1 × 10 3   m / s

r A = 184 × 10 3   k m = 184 × 10 6   m

Nossa função é determinar o decréscimo de velocidade da espaçonave em A para que ela atinja a órbita desejada e a velocidade da espaçonave quando ela alcançar a órbita de Tétis em B .

Vamos chamar de v A ' a velocidade da espaçonave na órbita elíptica após sua velocidade ter diminuído. Aplicando princípio da conservação do momento angular:

r A m v A ' = r B m v B

v B = r A r B v A '

v B = 184 × 10 6 293 × 10 6 v A ' = 0,628 v A '

Passo 2

Calculando a energia cinética e potencial.

Ponto A:

T A = 1 2 m v A ' 2

Aplicando agora a Eq. 13.17, usada para a energia potencial quando a variação da força da gravidade não pode ser desprezada:

V A = - G M S a t m r A

Vamos determinar G M através da velocidade de Tétis, v c i r c , em sua órbita circular. Para isso, usamos a Eq. 12.44.

v c i r c = G M S a t r B

Como sabemos que

v c i r c = 11 × 10 3   m / s

Então:

11 × 10 3 = G M S a t 293 × 10 6

11 × 10 3 2 = G M S a t 293 × 10 6

G M S a t = 3,5453 × 10 16   m 3 / s 2

Substituindo em V A :

V A = - G M S a t m r A

V A = - 3,5453 × 10 16 m 184 × 10 6

V A = - ( 192,6793 × 10 6 ) m

Ponto B:

T B = 1 2 m v B 2

Aplicando a Eq. 13.17:

V B = - G M S a t m r B = - ( 3,5453 × 10 16 ) m 293 × 10 6

V B = - 121 × 10 6 m

Passo 3

Em posse das energias cinética e potencial, vamos aplicar o princípio da conservação da energia:

T A + V A = T B + V B

1 2 m v A ' 2 - ( 192,6793 × 10 6 ) m = 1 2 m v B 2 - 121 × 10 6 m

v A ' 2 - v B 2 = 143,3586 × 10 6

Sabemos que

v B = 0,628 v A '

Então,

v A ' 2 - 0,628 v A ' 2 = 143,3586 × 10 6

0,605 61 6 v A ' 2 = 143,3586 × 10 6

v A ' = 15,3855 × 10 3   m / s

Passo 4

Sabendo que,

v A = 21 × 10 3   m / s

Encontraremos o decréscimo de velocidade Δ v da espaçonave em A para que ela atinja a órbita desejada:

Δ v A = v A - v A '

Δ v A = 21 × 10 3 - 15,3855 × 10 3

Δ v A = 5614,5   m / s = 5,6145   k m / s

E, como

v B = 0,628 v A '

Encontramos a velocidade da espaçonave quando ela alcançar a órbita de Tétis em B :

v B = 0,628 ⋅ 15,3855 × 10 3 = 9,662 × 10 3   m / s

Resposta

Δ v A = 5,6145   k m / s

v B = 9,662   k m / s

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