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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 6.3 - Ex. 34

O furgão visto por trás está viajando a uma velocidade v por uma curva de raio médio r inclinada para dentro de um ângulo θ . O coeficiente de atrito efetivo entre os pneus e a estrada é μ . Determine (a) o ângulo de inclinação adequado para uma determinada velocidade v para eliminar qualquer tendência a deslizar ou tombar, e (b) a velocidade máxima v antes que o furgão tombe ou deslize para um dado θ . Note que as forças e a aceleração estão no plano da figura de modo que o problema pode ser tratado como sendo de movimento plano, embora a velocidade seja perpendicular a esse plano.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:

Velocidade do furgão: v ;

Trajetória curva de raio r ;

Inclinação θ ;

Coeficiente de atrito: μ ;

Devemos determinar o ângulo de inclinação adequado para uma velocidade v para que o furgão não deslize ou tombe. Em seguida, devemos determinar a velocidade máxima v que o furgão alcança antes de tombar ou deslizar para um dado ângulo θ .

Como essa é uma trajetória curva, teremos uma aceleração normal que aponta para o centro da circunferência. Além disso, o enunciado nos diz que o problema pode ser tratado como sendo um movimento plano, logo

∑ F = m a -

∑ M G = I - α = 0

Vamos desenhar o diagrama cinético do furgão:

Olhando o diagrama, podemos ver que o furgão terá uma chance maior de tombar conforme o incremento de ângulo β aumenta, fazendo com que a intensidade de m a - se torne maior sobre m g .

Agora vamos resolver a questão!

Passo 2

  1. Neste momento, sabemos que o furgão não deve deslizar ou tombar, portanto o incremente de ängulo β deve ser nulo e ângulo θ pode ser encontrado através de

    2. tan ⁡ θ = m a - m g = v 2 r g

    θ = tan - 1 ⁡ v 2 r g  

    Passo 3

  2. Agora, o furgão estará na iminência de deslizar ou tombar, portanto, vamos assumir que o ângulo θ terá um incremento de valor β .

Logo, tan ⁡ ( θ + β ) = m a - m g = v 2 r g

Colocando v em evidência, temos que

v 2 = r g tan ⁡ ( θ + β )

Aplicando as propriedades das relações trigonométricas

tan ⁡ A + B = tan ⁡ A + tan ⁡ B 1 - tan ⁡ A tan ⁡ B

obtemos

v 2 = r g tan ⁡ β + tan ⁡ θ 1 - tan ⁡ β tan ⁡ θ

Como não conhecemos o valor de β , devemos encontrar uma relação entre ele e os valores dados pela questão.

Sabemos que o furgão deslizará quando o coeficiete de atrito falhar primeiro que a relação b / 2 h (esta relação nos mostra a chance do furgão tombar. Quanto menor o valor desta relação, maior a chance de tombar). Logo,

μ < b / 2 h

Portanto, temos que

tan ⁡ β = μ

E obtemos

v 2 = r g μ + tan ⁡ θ 1 - μ tan ⁡ θ

No caso em que o furgão tombe primeiro, temos que

μ > b / 2 h

E que

tan ⁡ β = b / 2 h

Logo, obtemos

v 2 = r g b / 2 h + tan ⁡ θ 1 - b / 2 h tan ⁡ θ

Resposta

θ = tan - 1 ⁡ v 2 r g  

v 2 = r g μ + tan ⁡ θ 1 - μ tan ⁡ θ

v 2 = r g b / 2 h + tan ⁡ θ 1 - b / 2 h tan ⁡ θ

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