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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 6.5 - Ex. 114

A roda-gigante em um parque de diversões tem um número par n de gôndolas, cada uma livremente articulada em seu ponto de sustentação na periferia da roda. Cada gôndola carregada possui uma massa m , um raio de giração k em relação ao seu ponto de sustentação A , e o centro de massa a uma distância h de A . A estrutura da roda tem um momento de inércia I O em relação ao seu mancar em O . Determine uma expressão para a força tangencial F , que deve ser transmitida à periferia da roda em C , a fim de fornecer à roda uma aceleração angular inicial α partindo do repouso. Sugestão: Analise as gôndolas em pares A e B . Tenha cuidado para não assumir que a aceleração angular inicial das gôndolas é a mesma que a da roda. (Observação: Um engenheiro americano chamado George Washington Gale Ferris Jr., inventou a roda-gigante para a World’s Columbian Exposition em Chicago, em 1893. A roda tinha 76.2 metros de diâmetro com 36 gôndolas, cada uma delas carregava até 60 passageiros. Totalmente carregada, a roda e as gôndolas tinham uma massa de 1200 t. A atração era acionada por um motor a vapor de 1000 hp.)

Passo 1

Para resolvermos esse problema, precisaremos analisar as somatórias de forças e de momento fletor em cada uma das gôndolas e na roda. Após isso usaremos as equações encontradas para determinar a força aplicada F → .

Passo 2

Vamos começar encontrando a equação para o momento fletor da gôndola A . Temos que o momento fletor resultante será dado por

∑ M A = I → ⋅ α A + ∑ m ⋅ a A ⋅ d

Onde d é a distância até a ponta da gôndola. Mas como queremos que a gôndola não gire, temos que ∑ M A = 0 . Assim

0 = I → ⋅ α A + m ⋅ h 2 ⋅ α A - m ⋅ R ⋅ α ⋅ h ⋅ sin ⁡ θ

Só que temos que I → + m ⋅ h 2 = I A , pelo teorema dos eixos paralelos, e que I A = m ⋅ k 2 . Logo:

I A ⋅ α A = m ⋅ R ⋅ h ⋅ α ⋅ sin ⁡ θ

m ⋅ α A = m ⋅ R ⋅ h ⋅ α ⋅ sin ⁡ θ k 2

Analisando as forças agora, temos que as forças atuantes serão a força A θ e a força peso que será m ⋅ g ⋅ cos ⁡ θ . Assim ficamos com a seguinte equação:

∑ F θ = m ⋅ a → θ

A θ + m ⋅ g ⋅ cos ⁡ θ = m ⋅ R ⋅ α - m ⋅ h ⋅ α A ⋅ sin ⁡ θ

A θ = m ⋅ R ⋅ α - g ⋅ cos ⁡ θ - m ⋅ R ⋅ α h ⋅ sin ⁡ θ k 2

Passo 3

Para a gôndola B vamos realizar o mesmo processo. Calculando primeiro o momento fletor, temos que

∑ M B = I → ⋅ α B + ∑ m ⋅ a B ⋅ d

0 = I → ⋅ α B + m ⋅ h 2 ⋅ α B - m ⋅ R ⋅ α ⋅ h ⋅ sin ⁡ θ

m ⋅ α B = m ⋅ R ⋅ h ⋅ α ⋅ sin ⁡ θ k 2

Analisando as forças agora, temos que as forças atuantes serão as mesmas, mudando apenas para B θ . Assim

∑ F θ = m ⋅ a → θ

B θ - m ⋅ g ⋅ cos ⁡ θ = m ⋅ R ⋅ α - m ⋅ h ⋅ α B ⋅ sin ⁡ θ

B θ = m ⋅ R ⋅ α + g ⋅ cos ⁡ θ - m ⋅ R ⋅ α h ⋅ sin ⁡ θ k 2

Passo 4

Analisando agora a roda, temos que seu momento fletor será

∑ M o = I o ⋅ α

Mas temos que ∑ M o é o torque resultante, e o mesmo é dado por pelo produto vetorial entre as forças e o braço onde está sendo aplicado. Assim

F → × R → - ∑ A θ → × R → - ∑ B θ → × R → = I o ⋅ α

Ou, como o ângulo formado pela força e o braço é 90º, podemos escrever como

F - ∑ A θ + B θ ⋅ R = I o ⋅ α

Passo 5

Substituindo as equações encontradas de A θ e B θ na última equação encontrada no passo 4, vamos ficar com a seguinte equação.

F ⋅ R - ∑ 1 n 2 2 ⋅ m ⋅ R ⋅ α - 2 ⋅ m ⋅ R ⋅ α ⋅ h ⋅ sin ⁡ θ n k 2 ⋅ R = I o ⋅ α  

Simplificando e resolvendo pra F pegando os primeiros termos da série de Taylor, ficamos com

F = m ⋅ R ⋅ n - 2 ⋅ h 2 k 2 ⋅ sin 2 ⁡ θ 1 + sin 2 ⁡ θ 2 + … + sin 2 ⁡ θ n 2 + I o R ⋅ α

Resposta

F = m ⋅ R ⋅ n - 2 ⋅ h 2 k 2 ⋅ sin 2 ⁡ θ 1 + sin 2 ⁡ θ 2 + … + sin 2 ⁡ θ n 2 + I o R ⋅ α

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