Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 6.5 - Ex. 114
A roda-gigante em um parque de diversões tem um número par de gôndolas, cada uma livremente articulada em seu ponto de sustentação na periferia da roda. Cada gôndola carregada possui uma massa , um raio de giração em relação ao seu ponto de sustentação , e o centro de massa a uma distância de . A estrutura da roda tem um momento de inércia em relação ao seu mancar em . Determine uma expressão para a força tangencial , que deve ser transmitida à periferia da roda em , a fim de fornecer à roda uma aceleração angular inicial partindo do repouso. Sugestão: Analise as gôndolas em pares e . Tenha cuidado para não assumir que a aceleração angular inicial das gôndolas é a mesma que a da roda. (Observação: Um engenheiro americano chamado George Washington Gale Ferris Jr., inventou a roda-gigante para a World’s Columbian Exposition em Chicago, em 1893. A roda tinha 76.2 metros de diâmetro com 36 gôndolas, cada uma delas carregava até 60 passageiros. Totalmente carregada, a roda e as gôndolas tinham uma massa de 1200 t. A atração era acionada por um motor a vapor de 1000 hp.)
Passo 1
Para resolvermos esse problema, precisaremos analisar as somatórias de forças e de momento fletor em cada uma das gôndolas e na roda. Após isso usaremos as equações encontradas para determinar a força aplicada .
Passo 2
Vamos começar encontrando a equação para o momento fletor da gôndola . Temos que o momento fletor resultante será dado por
Onde é a distância até a ponta da gôndola. Mas como queremos que a gôndola não gire, temos que . Assim
Só que temos que , pelo teorema dos eixos paralelos, e que . Logo:
Analisando as forças agora, temos que as forças atuantes serão a força e a força peso que será . Assim ficamos com a seguinte equação:
Passo 3
Para a gôndola vamos realizar o mesmo processo. Calculando primeiro o momento fletor, temos que
Analisando as forças agora, temos que as forças atuantes serão as mesmas, mudando apenas para . Assim
Passo 4
Analisando agora a roda, temos que seu momento fletor será
Mas temos que é o torque resultante, e o mesmo é dado por pelo produto vetorial entre as forças e o braço onde está sendo aplicado. Assim
Ou, como o ângulo formado pela força e o braço é 90º, podemos escrever como
Passo 5
Substituindo as equações encontradas de e na última equação encontrada no passo 4, vamos ficar com a seguinte equação.
Simplificando e resolvendo pra pegando os primeiros termos da série de Taylor, ficamos com