Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 99

Um garfo é usado para mover a partícula lisa de 1 kg em torno da trajetória horizontal no formato de um limaçon (caracol de Pascal), r = 0,3 2 + cos ⁡ θ m. Se em todos os instantes de tempo θ ˙ = 0,5 rad/s, determine a força que o garfo exerce sobre a partícula no instante que θ = 90 ° . O garfo e a trajetória contatam a partícula em apenas um lado.

Passo 1

Temos as seguintes informações:

Massa de partícula: m = 1   k g

Velocidade: θ ˙ = 0,5   r a d / s

Trajetória horizontal.

A questão pede para determinarmos a força exercida pelo garfo sobre a partícula no instante em que θ = 90 ° .

Desenhamos o seguinte diagrama de corpo livre:

Onde N é a força normal e F é a força exercida pelo garfo.

Passo 2

Sabemos que a trajetória é definida por

r = 0,3 2 + cos ⁡ θ

Portanto, as derivadas temporais em r são:

r ˙ = d r d t = - 0,3 θ ˙ sen ⁡ θ   m / s

r ¨ = d 2 r d t 2 = - 0,3 θ ˙ 2 cos ⁡ θ - 0,3 θ ¨ sen ⁡ θ   m / s 2

Como nos foi dito que θ ˙ = 0,5   r a d / s para todo instante, logo θ ˙ é constante e θ ¨ = 0   r a d / s 2 .

Para   θ = 90 ° :

r = 0,6   m

r ˙ = d r d t = - 0,15   m / s

r ¨ = d 2 r d t 2 = 0   m / s 2

Passo 3

Sabemos que as componentes da aceleração nas coordenadas r e θ são dadas por

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

Logo,

a r = - 0,6 ( 0,5 2 ) = - 0,15   m / s 2

a θ = + 2 ( - 0,15 ) ( 0,5 ) = - 0,15   m / s 2

Passo 4

Agora vamos descobrir o ângulo com que a força normal N é aplicada à partícula.

Visto que a trajetória já está especificada, o ângulo ψ que a linha radial deformada r forma com a tangente pode ser determinado pela equação

tan ⁡ ψ = r d r / d θ

Temos que r = 0,3 2 + cos ⁡ θ , logo

d r d θ = - 0,3 sen ⁡ θ

Portanto, para θ = 90 ° , temos que

tan ⁡ ψ = r d r d θ   = 0,3 2 + cos ⁡ θ - 0,3 sen ⁡ θ = - 2

ψ = - 63,435 °

N atua perpendicular à tangente à curva em θ = 90 ° . Logo, o ângulo α entre a força N e o eixo r é igual à

α = 90 ° - ψ = 26,67 °

Passo 5

Aplicaremos as Equações do Movimento.

Analisando no eixo r , temos que

∑ F r = m a r

- N cos ⁡ α = m a r

- N cos ⁡ 26,67 ° = ( 1 ) - 0,15

N = 0,168 N

Analisando no eixo θ , temos que

∑ F θ = m a θ

F - N sen ⁡ α = m a θ

F = 1 - 0,15 + 0,168 sen ⁡ 26,67 °

F = - 0,0746 N

O sinal negativo de F indica que esta força está agindo na mesma direção, porém no sentido contrário ao desenhado no diagrama de corpo livre.

Resposta

F = - 0,075   N

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a velocidade angular constante θ ˙ do eixo vertical do brinquedo do parque de diversões se ϕ = 45 ° . Despreze a massa dos cabos e a dimensão dos passageiros.
O pino P de 0,2 kg está restrito a se mover na fenda curva lisa que é definida pela lemniscata r = ( 0,6 cos ⁡ 2 θ ) m. O seu movimento é controlado pela rotação do braço bifurcado O A , o qual tem ve
Uma bola de 0,2 kg é soprada em um tubo circular vertical liso cuja forma é definida por r = ( 0,6 sen ⁡ θ ) m, onde θ é dado em radianos. Se θ = ( π t 2 ) rad, onde t é dado em segundos, determine a
A barra A B de 2 kg desloca-se para cima e para baixo à medida que sua extremidade desliza sobre a superfície lisa do came, onde r = 0,1 m e z = ( 0,02 sen ⁡ θ ) m . Se o came está girando com velocid
Se o coeficiente de atrito estático entre a superfície cônica e o bloco de massa m é μ s = 0,2 , determine a velocidade angular constante mínima θ ˙ de maneira que o bloco não escorregue para baixo.