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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 20

Um ginasta de 80 kg está executando uma série de giros completos em uma barra horizontal. Na posição mostrada na figura, ele tem velocidade angular pequena e desprezível e manterá seu corpo ereto e rígido à medida que girar para baixo. Admitindo que, durante o giro, o raio de giração centroidal de seu corpo seja de 0,4 m, determine a velocidade angular e a força exercida sobre suas mãos após ele ter girado (a) 90°, (b) 180°.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a velocidade angular e a força exercida sobre suas mãos após ele ter girado (a) 90°, (b) 180°.

Posição 1. (Diretamente acima da barra).

Elevação:

h = 3.5   ft

Energia potencial:

V 1 = W h 1 = 160   lb 3.5   ft = 560   ft ∙ lb

Velocidades:

ω 1 = 0 ,               v - 1 = 0

Energia cinética:

T 1 = 0

Passo 2

  1. Posição 2. (Corpo no nível da barra após girar 90 ° )

    2. Elevação:

    h 2 = 0

    Energia potencial:

    V 2 = 0

    Velocidades:

    v - 2 = 1.1 ω 2

    Energia cinética:

    T 2 = 1 2 m v - 2 2 + 1 2 m k 2 ω 2 2

    T 2 = 1 2 16 32.2 3.5 ω 2 2 + 1 2 160 32.2 1.5 2 ω 2 2 = 36.025 ω 2 2

    Passo 3

    Princípio da conservação de energia.

    T 1 + V 1 = T 2 + V 2 :               0 + 560 = 36.025 ω 2 2

    ω 2 2 = 15.545

    Cinemática:

    a - t = 3.5 α

    a - n = 3.5 ω 2 2 = 3.5 15.545 = 54.407   ft/ s 2   ←

    + Σ M 0 = Σ M 0 eff :                 3.5 160 = 160 32.2 3.5 3.5 α + 160 32.2 1.5 2 α

    α = 7.7724   rad/ s 2                 a - t = 27.203   ft/ s 2 ↓

    ← + Σ F x = m a n :               R x = 160 32.2 54.407 = 270.35   lb ←

    ← + Σ F y = - m a t :               R y - 160 = - 160 32.2 27.203 ↑

    R y = 24.83   lb ↑

    Passo 4

  2. Posição 3. (Diretamente abaixo da barra após girar 180 ° )

Elevação:

h 3 = - 1.1   m

Energia potencial:

V 3 = W h 3 = 160   lb - 3.5 = - 560   ft ∙ lb

Velocidades:

v - 3 = 3.5 ω 3

Energia cinética:

T 3 = 36.025 ω 3 2

Princípio da conservação da energia.

T 1 + V 1 = T 3 + V 3 :               0 + 560 = 36.025 ω 2 2 - 560

ω 3 2 = 31.09

Cinemática:

a n = 3.5 31.09 = 108.81   ft/ s 2 ↑

A partir de

Σ M 0 = Σ M 0 eff                 e                 Σ F x = 0 ,

α = 0 ,               a t = 0               R x = 0

+ ↑ Σ F y = m a n :               R y - 160 = 160 32.2 108.81 ↑

R y = 700.62   lb

Resposta

a )   ω 2 = 3.94   rad/s  

R = 271   lb     5.25 °

b )   ω 3 = 5.58   rad/s  

R = 701   lb↑

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