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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 79

Duas barras feitas de materiais diferentes são acopladas e instaladas entre duas paredes quando a temperatura é T 1 = 10   ° C . Determine a força exercida nos apoios (rígidos) quando a temperatura for T 2 = 20   ° C . As propriedades dos materiais e as áreas de seção transversal de cada barra são dadas na figura.

Passo 1

Duas barras acopladas e entre paredes rígidas são aquecidas Δ T = 20 - 10 = 10   ° C .

Características da barra de aço:

  • Aço: E a ç o = 200   GPa , α a ç o = 12 10 - 6   ° C - 1 .
    • Área: A a ç o = 200   mm 2 .
    • Comprimento inicial: L = 300   mm .

      • Características da barra de latão:

    • Aço: E l a t = 100   GPa , α l a t = 21 10 - 6   ° C - 1 .
  • Área: A l a t = 450   mm 2 .
  • Comprimento inicial: L = 300   mm .

Queremos descobrir a reação F dos apoios.

Passo 2

Vejamos o que acontece com cada barra:

  • O aumento de temperatura vai causar uma expansão das barras ( δ T a ç o   e   δ T l a t )
  • Como as barras estão acopladas, elas vão empurrar as paredes. As paredes vão resistir com uma força F , comprimindo. Essa compressão vai reduzir as barras ( δ F a ç o   e    δ F l a t ) .

As paredes são fixas (rígidas), então o resultado aí de toda essa mudança de comprimento (expande e comprime em cada barra) tem que ser zero!

δ T a ç o + δ T l a t - δ F a ç o - δ F l a t = 0

Temos fórmulas pra todos esses termos! Expansão térmica:

δ T = α   Δ T   L

Relação carga-deslocamento:

δ F = F   L A   E

Nós queremos descobrir a força F , todos as outras letras nós sabemos os valores!

Passo 3

Vamos aplicar as fórmulas e depois a gente volta na equação principal. Expansão térmica para Δ T = 10   ° C .

δ T = α   Δ T   L

δ T a ç o = 0,036   mm

δ T l a t = 0,063   mm

Passo 4

Agora vamos usar a relação carga-deslocamento. Lembrando só tem uma força na história: F .

δ F = F   L A   E

δ F a ç o = 7,500 ⋅ 10 - 6   mm /N ⋅ F

δ F l a t = 6,667 ⋅ 10 - 6   mm /N ⋅ F

Passo 5

Voltando à condição de compatibilidade, só falta resolver umas continhas pra achar F :

δ T a ç o + δ T l a t - δ F a ç o - δ F l a t = 0

0,099   mm - 14,167 ⋅ 10 - 6   mm /N   ⋅ F =   0

F = 6,988   kN

Resposta

Força nos apoios: F = 6,988   kN .

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