Uma haste esbelta de comprimento l e massa m está soldada na borda de um aro de raio l . Se o aro é liberado a partir do repouso na posição mostrada, determine a velocidade v do centro do aro, após ter dado uma volta e meia. Assuma que não há deslizamento e que existe um contato contínuo entre o aro e a sua superfície de apoio. Despreze também a massa do aro.

Passo 1

A variação da energia cinética do corpo é dada por

∆ T = 1 2 I c ω 2 = 1 2 1 3 m l 2 v l 2 = 1 6 m v ²

A variação da energia potencial, por sua vez, é dada por

∆ V = ∆ V g +   ∆ V e

Por não haver deformação elástica, o termo temos ∆ V e = 0 . Assim,

∆ V = ∆ V g = m g h

Pela figura, note que o deslocamento vertical h é dado por

h = 2 l 2 c o s θ + 3 π l s e n θ

De forma que

∆ V = ∆ V g = - m g l c o s θ + 3 π s e n θ

Passo 2

Aplicando a relação Trabalho-Energia, temos que

U ' = ∆ T + ∆ V = 0

Substituindo os valores encontrados no passo anterior, ficamos com:

0 =   1 6 m v ²   - m g l c o s θ + 3 π s e n θ  

Simplificando m e isolando v , encontramos

v = 6 g l ( c o s θ + 3 π s e n θ 2

Resposta

v = 6 g l ( c o s θ + 3 π s e n θ 2

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