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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 5.8 - Ex. 208

Um torque constante M ultrapassa o momento em torno de O devido à força F sobre o embolo, e resulta em uma aceleração angular θ ¨ = 100 1 - c o s θ r a d / s 2 . Se a manivela AO é liberada a partir do repouso em B, onde θ = 30 ° , e atinge o batente em C, onde θ = 150 ° , apresente graficamente a velocidade angular θ ˙ como uma função de θ e encontre o tempo t para a manivela girar de θ = 90 °   a t é   θ = 150 ° .

Passo 1

Bom pessoal, o enunciado já deu a equação da aceleração angular θ ¨ . :

θ ¨ = 100 1 - c o s θ r a d / s 2

Podemos integrar esta equação para encontrar a velocidade angular θ ˙ a partir da relação:

θ ˙ d θ ˙ = θ ¨ d θ  

O limite inferior de integração para θ ˙ é zero, pois o sistema parte do repouso. Já para θ , o enunciado nos dá que   θ = 30 ° = π 6   .   Temos então:

∫ 0 θ ˙ θ ˙ d θ ˙ = ∫ 0 θ 100 1 - c o s θ d θ

θ 2 ˙ 2 = 100 θ - s e n θ θ π / 6  

θ ˙ = 10 2 ( θ - s e n θ - 0,0236

Agora você pode usar o Software que preferir para plotar o gráfico da equação. Mas a cara dele vai ficar a seguinte:

Os limites estão em radianos, mas é o que se encontra dentro das linhas azuis.

Agora, para encontrar o tempo t, basta integrar a função acima:

θ ˙ = d θ d t = 10 2 ( θ - s e n θ - 0,0236

∫ 0 t d t = ∫ π / 2 5 π / 6 d θ 10 2 ( θ - s e n θ - 0,0236

Fazendo a integração numérica, encontramos que:

t = 0,07 s

Resposta

θ ˙ = 10 2 ( θ - s e n θ - 0,0236

t = 0,07 s

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