Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 18
Inclua a resistência do ar proporcional ao quadrado da velocidade da bola no problema anterior. Considere o coeficiente de arrasto como sendo , o raio da bola igual a e sua massa . (a) Determine a velocidade inicial da bola necessária para ultrapssar a cerca agora. (b) Para essa velocidade, determine o ângulo de elevaçáo inicial que permite que a bola ultrapasse a cerca com maior facilidade. Nessa nova situação, em quanto a bola ultrapassará a cerca?
Passo 1
E aí galera, vamos iniciar mais uma questão do nosso livro!
Letra (a)
Bem galerinha, primeiramente temos que a expressão de Prandtl para a resistência do ar é dada por:
Onde é o coeficiente de arrasto adimensional, é a densidade do ar, é a velocidade e é a área da seção transversal do objeto medida perpendicularmente à velocidade. A força está sempre na direção oposta da velocidade, então tem a direção do vetor unitário , isso é:
Mas:
Então:
Podemos assim, dividir as forças em duas partes, sendo nas direções e como:
Agora definimos a força total no projetil igual a , como:
Podemos dividir a força em duas partes, obtendo:
Passo 2
Continuando, temos que a força resultante na direção é igual à força de resistência do ar, e a força resultante na direção é igual à força da gravidade subtraída da força de resistência do ar na direção , ou seja:
Substituindo os valores de e , temos:
Reorganizando as equações como:
precisamos resolver essas duas equações numericamente, basicamente definimos um valor inicial para sendo , então encontramos os valores de e numericamente. O procedimento é o seguinte:
- Utilizaremos uma velocidade inicial;
- A partir desta velocidade podemos encontrar a próxima velocidade;
- Multiplicando a aceleração por um pequeno intervalo de tempo ;
- Finalmente multiplicamos as velocidades e por e adicione-o à posição anterior;
- Checar se e ao mesmo tempo.
Utilizando um software em python para fazer isso e o código é ilustrado na imagem a seguir, velocidade inicial que permite que a bola passe pela cerca é:
Obtemos o gráfico:
Passo 3
Letra (b)
Agora a velocidade inicial é fixada em , precisamos encontrar o ângulo de elevação que dá à bola uma altura máxima acima da cerca ( onde é a altura da cerca), seguimos o mesmo método na parte (a), mas em vez disso definimos um valor inicial de sendo , em seguida, aumente o ângulo até obter a altura máxima. Nós temos:
e a trajetória é mostrada na figura a seguir. E a bola agora passa pela cerca:
Finalizamos aqui nossa questão, tudo beleza? Te vejo na próxima!
Resposta
Letra (a)
Letra (b)